Будем считать что в приведенной матрице игрок строки максимизирует свой выигрыш

Определим по формуле математическое ожидание выигрыша игрока 1
Математическое ожидание выигрыша игрока 1 должно быть максимальным, найдем частные производные функции v
dv/dx = –y + 0.5
dv/dy = –x + 1
Приравняем к нулю, получим y = 0.5, х = 1. Игра не имеет равновесия по Нэшу в чистых стратегиях.
Равновесие по Нэшу имеет место при оптимальной смешанной стратегии 1-го игрока (1, 0) и при оптимальной смешанной стратегии 2-го игрока (0,5, 0,5). Цена игры при этом равна 0,5
Пусть
р = (р1, р2) – оптимальная смешанная стратегия 1-го игрока, р2 = 1- р1
q = (q1, q2) – оптимальная смешанная стратегия 2-го игрока, q2 = 1- q1
Для нахождения оптимальной смешанной стратегии 1-го игрока необходимо решить следующую задачу линейного программирования:
найти min F = x1 + x2 при неотрицательных переменных x1, x2 ≥ 0
при ограничениях
0,5x1 + x2 ≥ 1,
0,5x1 ≥ 1,
при этом цена игры определяется из соотношения
v = 1/(x1 + x2),
а компоненты оптимальной смешанной стратегии игрока 1
p1 = vx1, p2 = vx2
Для нахождения оптимальной смешанной стратегии 2-го игрока необходимо решить следующую задачу линейного программирования:
найти max F = y1 + y2 при неотрицательных переменных y1, y2 ≥ 0
при ограничениях
0,5y1 + 0,5y2 1,
y1 1,
при этом цена игры определяется из соотношения
v = 1/(y1 + y2),
а компоненты оптимальной смешанной стратегии игрока 1
q1 = vy1, q2 = vy2
Найдем решение геометрически:
Для нахождения оптимальной смешанной стратегии 1-го игрока построим прямые на отрезке [0, 1]
y = 0,5x1 + (1 – x1) = –0,5x1 + 1
y = 0,5x1
Ордината точки пересечения определяет цену игры, т.е