Будем решать методом функций Грина.

Функция Грина для полупространства z>0 равна
Gx,y,z;ξ,η,ζ=
=14πx-ξ2+y-η2+z-ζ2-14πx-ξ2+y-η2+z+ζ2
Таким образом потенциал равен
ux,y,z=0+∞-∞+∞-∞+∞4πqθξδηδζ-lGx,y,z;ξ,η,ζdξdηdζ=
=4πq0+∞Gx,y,z;ξ,0,ldξ=
=q0+∞1x-ξ2+y2+z-l2-1x-ξ2+y2+z+l2dξ.
Плотность заряда индуцированного на проводящей заземленной плоскости z=0 определится как
σ(x,y)=-14π∂u∂nz=0=-14π∂u∂zz=0=
=-q4π∂∂z0+∞1x-ξ2+y2+z-l2-1x-ξ2+y2+z+l2dξz=0=
=-q4π0+∞-z-lx-ξ2+y2+z-l232+z+lx-ξ2+y2+z+l232z=0dξ=
=-q4π0+∞2ldξx-ξ2+y2+l232=-ql2π0+∞dξx-ξ2+y2+l232(=)
используем табличный интеграл dxx2+a23/2=xa2x2+a2
=ql2π∙x-ξy2+l2x-ξ2+y2+l20+∞=-ql2πy2+l21+xx2+y2+l2.
Ответ:
σx,y=-ql2πy2+l21+xx2+y2+l2.