Автозавод выпускает грузовики грузоподъемностью 3 т и 2 т. Общая грузоподъемность грузовиков, выпущенных заводом за неделю, должна быть не менее 600 т. На производство одного трехтонного грузовика затрачивается 400 человеко-часов рабочего времени и 9 т металла, а одного двухтонного грузовика – 500 человеко-часов и 26 т металла. Предприятие располагает в неделю 400000 человеко-часов рабочего времени и 5400 т металла. Найти недельный план выпуска автомобилей, максимизирующий товарную продукцию завода, если трехтонный грузовик стоит 10 тыс. руб., а двухтонный (повышенной проходимости) 30 тыс. руб.
ДУ: завод должен выпустить в неделю не менее 340 трехтонных грузовиков.
Решение
1. Составляем экономико-математическую модель нашей задачи.
Вводим обозначения для величин недельного плана выпуска автомобилей:
x1 – план выпуска грузовиков грузоподъемностью 3 т (штук);
x2 – план выпуска грузовиков грузоподъемностью 2 т (штук).
При этом товарная продукция завода составляет
F = 10·x1 + 30·x2 тыс. руб.
Целью решения задачи является определение среди всех допустимых таких значений x1 и x2, которые максимизируют товарную продукцию завода.
Рассмотрим ограничения задачи.
Значения выпуска грузовиков не могут быть отрицательными, поэтому x1 ≥ 0, x2 ≥ 0. Кроме того, по смыслу задачи, x1 и x2 – целочисленные.
Другие ограничения задачи связаны с имеющимися ресурсами недельного количества человеко-часов рабочего времени и металла, а также с требованиями по общей грузоподъемности и по количеству грузовиков, выпущенных заводом за неделю.
Математическая запись указанных ограничений такова:
400·x1 + 500·x2 ≤ 400000 или 4·x1 + 5·x2 ≤ 4000 – имеющийся недельный ресурс рабочего времени не может быть превышен, человеко-часов;
9·x1 + 26·x2 ≤ 5400 – имеющийся недельный ресурс металла не может быть превышен, т;
3·x1 + 2·x2 ≥ 600 – общая грузоподъемность грузовиков, выпущенных заводом за неделю, должна быть не менее 600 т;
1·x1 ≥ 340 – завод должен выпустить в неделю не менее 340 трехтонных грузовиков.
В целом соотношения экономико-математической модели задачи об оптимальном недельном плане выпуска автомобилей выглядят следующим образом:
F = 10·x1 + 30·x2 max
при ограничениях
4·x1 + 5·x2 ≤ 4000;
9·x1 + 26·x2 ≤ 5400;
3·x1 + 2·x2 ≥ 600;
1·x1 ≥ 340;
xj ≥ 0; xj – целочисленные; j = 1,2.
Словесная формулировка задачи может быть такой: найти недельный план выпуска автомобилей X = (x1, x2), удовлетворяющий системе ограничений
4·x1 + 5·x2 ≤ 4000;
9·x1 + 26·x2 ≤ 5400;
3·x1 + 2·x2 ≥ 600;
1·x1 ≥ 340
и условиям xj ≥ 0; xj – целочисленные; j = 1,2, для которого целевая функция F = 10·x1 + 30·x2 принимает максимальное значение.
2. Решение нашей задачи графическим методом
.
Как известно, графическим методом могут быть решены задачи линейного программирования, имеющие две переменные. Наша задача этому условию удовлетворяет.
В системе координат x1Ox2 строим область допустимых решений (ОДР) системы неравенств. Для этого неравенства системы заменяем равенствами и получаем уравнения прямых, образующих границу ОДР. При построении прямые выделяем цветом.
Определяем множество решений первого неравенства 4·x1 + 5·x2 ≤ 4000. Решением уравнения 4·x1 + 5·x2 = 4000 являются точки (300; 560) и (1050; –40). По этим точкам строим прямую, выделенную синим цветом. Множество решений строгого неравенства 4·x1 + 5·x2 < 4000 определяем при помощи контрольной точки (0; 0), координаты которой подставляем в неравенство. Так как неравенство выполняется, то стрелки на прямой направляем в сторону точки (0; 0).
Определяем множество решений второго неравенства 9·x1 + 26·x2 ≤ 5400
Задать вопрос
на новый заказ в Автор24.
