Аналитически отыскать безусловный экстремум функции

А) Аналитически отыскать безусловный экстремум функции, используя аппарат необходимых и достаточных условий.
Запишем градиент функции:
∇fX=-8x-16-6z+6
Запишем необходимые условия экстремума и вычислим координаты стационарных точек:
-8x-16=0-6z+6=0
-8x=16-6z=-6
x=-2z=1
Получена стационарная точка функции X*=-21
Составим матрицу Гессе:
∂2f∂y2=-8;
∂2f∂y∂z=0;
∂2f∂z∂y=0;
∂2f∂z2=-6;
H=-800-6
Вычислим матрицу Гессе в полученной стационарной точке:
HX*=-800-6
Определим характер полученной стационарной точки, используя критерий Сильвестра:
∆1=-8<0
∆2=-8*(-6)=48>0
Матрица Гессе является отрицательно определенной HX*<0, значит точка X*=-21 является точкой локального максимума функции.
Ответ: Функция fX имеет локальный безусловный максимум в точке с координатами X*=-21, f-21=35
б) Из начальной точки с координатами (0,0) сделать в направлении экстремума 3 итерации методом градиентного спуска (точность счета - 5 знаков после запятой).
f(X)=-4x2-3z2-16x+6z+16→extr
Так как при аналитическом решении найден локальный максимум функции, перейдем к задаче поиска минимума:
f(X)=4x2+3z2+16x-6z-16→extr
Запишем градиент функции:
∇fX=8x+166z-6
Итерация 0:
X0=00
fX0=4*02+3*02+16*0-6*0-16=-16
∇fX0=8*0+166*0-6=16-6
∇fX0=162+(-6)2=17,08801
Итерация 1:
Вычислим точку X1 по формуле:
X1=X0-t0∇fX0
Примем шаг t0=0,1
X1=00-0,1*16-6=-1,60,6
fX1=-33,88
fX1<fX0, значит шаг выбран удачно
∇fX1=3,2-2,4
∇fX1=3,22+(-2,4)2=4
Итерация 2:
Вычислим точку X2 по формуле:
X2=X1-t1∇fX1
Примем шаг t1=0,1
X2=-1,60,6-0,1*3,2-2,4=-1,920,84
fX2=-34,8976
fX2<fX1, значит шаг выбран удачно
∇fX2=0,64-0,96
∇fX2=0,642+(-0,96)2=1,15378
Итерация 3:
Вычислим точку X3 по формуле:
X3=X2-t2∇fX2
Примем шаг t2=0,1
X3=-1,920,84-0,1*0,64-0,96=-1,9840,936
fX3=-34,98669
fX3<fX2, значит шаг выбран удачно
∇fX3=0,128-0,384
∇fX3=0,1282+(-0,384)2=0,40477
Приведенные вычисления представим в виде таблицы:
№ x y t ∇x
∇y
∇fX
f
0 0 0
16 -6 17,08801 -16
1 -1,6 0,6 0,1 3,2 -2,4 4 -33,88
2 -1,92 0,84 0,1 0,64 -0,96 1,15378 -34,8976
3 -1,984 0,936 0,1 0,125 -0,384 0,40477 -34,98669
в) Из начальной точки с координатами (0,0) сделать в направлении экстремума 1 итерацию методом наискорейшего спуска (точность счета - 5 знаков после запятой)
f(X)=-4x2-3z2-16x+6z+16→extr
Так как при аналитическом решении найден локальный максимум функции, перейдем к задаче поиска минимума:
f(X)=4x2+3z2+16x-6z-16→extr
Запишем градиент функции:
∇fX=8x+166z-6
Итерация 0:
X0=00
fX0=4*02+3*02+16*0-6*0-16=-16
∇fX0=8*0+166*0-6=16-6
∇fX0=162+(-6)2=17,08801
Итерация 1:
Вычислим точку X1 по формуле: X1=X0-t0∇fX0
X1=00-t0*16-6=-16t06t0
Вычислим шаг t0:
f(X1)=4*(-16t0)2+3*(6t0)2+16*-16t0*t0-6*6t0-16=1132t02+292t0-16
dfX1dt0=2264t0-292>0
t0=0,12898
d2fX1dt02=2264>0
при t0=0,12898 функция fX1 принимает минимальное значение
X1=-2,06360,77385
fX1=-34,83039
∇fX1=-0,5088-1,3569
∇fX1=-0,50882+(-1,3569)2=1,44916
г) Из начальной точки с координатами (0,0) сделать в направлении экстремума 2 итерации методом сопряженных градиентов (точность счета - 5 знаков после запятой).
f(X)=-4x2-3z2-16x+6z+16→extr
Так как при аналитическом решении найден локальный максимум функции, перейдем к задаче поиска минимума:
f(X)=4x2+3z2+16x-6z-16→extr
Запишем градиент функции:
∇fX=8x+166z-6
Итерация 0:
X0=00
fX0=4*02+3*02+16*0-6*0-16=-16
∇fX0=8*0+166*0-6=16-6
∇fX0=162+(-6)2=17,08801
Итерация 1:
Вычислим точку X1 по формуле: X1=X0-t0∇fX0
X1=00-t0*16-6=-16t06t0
Вычислим шаг t0:
f(X1)=4*(-16t0)2+3*(6t0)2+16*-16t0*t0-6*6t0-16=1132t02+292t0-16
dfX1dt0=2264t0-292>0
t0=0,12898
d2fX1dt02=2264>0
при t0=0,12898 функция fX1 принимает минимальное значение
X1=-2,06360,77385
fX1=-34,83039
∇fX1=-0,5088-1,3569
∇fX1=-0,50882+(-1,3569)2=1,44916
Итерация 2:Вычислим точку X2 по формуле:
X2=X1+t1d1
d1=-∇fX1+β0d0
d0=-∇fX0
β0=∇fX12∇fX02
β0=1,44916217,088012=0,00719
d1=--0,5088-1,3569+0,00719*-166=0,393761,40004
X2=-2,06360,77385+t10,393761,40004=-2,0636+0,39376t10,77385+1,40004t1
f(X2)=6,50052t12-2,10006t1-34,83039
dfX2dt1=13,00105t0-2,10006>0
d2fX2dt12=13,00105>0
при t1=0,16153функция fX2 принимает минимальное значение
X2=-21
f(X2)=-35
∇fX2=00
∇fX1=0
Приведенные вычисления представим в виде таблицы:
№
0 x z t ∇x
∇y
∇fX
f
0
0
- 16 -6 17,08801
-16
β
dx
dy
-
1 x z t ∇x
∇y
∇fX
f
-2,0636
0,77385
0,12898 -0,5088 -1,3569 1,44916
-34,83039
β
dx
dy
0,00719 0,39376 1,40004
2 x z t ∇x
∇y
∇fX
f
-2 1 0,16153 0 0 0 -35
д) Из начальной точки с координатами (0,0) сделать в направлении экстремума 1 итерацию методом Ньютона (точность счета - 5 знаков после запятой)
f(X)=-4x2-3z2-16x+6z+16→extr
Так как при аналитическом решении найден локальный максимум функции, перейдем к задаче поиска минимума:
f(X)=4x2+3z2+16x-6z-16→extr
Запишем градиент функции:
∇fX=8x+166z-6
Итерация 0:
X0=00
fX0=4*02+3*02+16*0-6*0-16=-16
∇fX0=8*0+166*0-6=16-6
∇fX0=162+(-6)2=17,08801
Итерация 1:
Вычислим точку X1 по формуле:
X1=X0-H-1X0∇fX0
Вычислим матрицу обратную к матрице Гессе, вычисленной в точке X0:
HX0=8006
H-1X0=0,125000,16667
Тогда
X1=00-0,125000,16667*16-6=-21
f(X1)=-35
∇fX1=00
∇fX1=02+02=0
Траектории спуска всех методов на одном рисунке:
Этап №2 Тема: Методы решения ЗНП при ограничениях типа равенства