Аналитически отыскать безусловный экстремум функции используя аппарат необходимых и достаточных условий

Запишем градиент функции:
∇FX=20y-104z+4
Запишем необходимые условия экстремума и вычислим координаты стационарных точек:
20y-10=04z+4=02y-1=0z+1=02y=1z=-1y=0,5z=-1
Получена стационарная точка функции X*0,5;-1T.
Составим матрицу Гессе:
∂2F∂x2=20; ∂2F∂y2=4; ∂2F∂x∂y=0; ∂2F∂y∂x=0 HX=20004
Вычислим матрицу Гессе в полученной стационарной точке: HX*=20004
Определим характер полученной стационарной точки, используя критерий Сильвестра:
∆1=20>0
∆2=20∙4-0∙0=80-0=80>0
Так как все диагональные миноры матрицы положительны, матрица Гессе является положительно-определенной HX*>0, и, следовательно, точка X*0,5;-1T является точкой локального минимума функции.
Ответ: функции FX=10y2+2z2-10y+4z+10 имеет локальный безусловный минимум в точке с координатами X*0;0.
1б)
Найдём градиент функции и запишем матрицу Гессе:
∇FX=20y-104z+4; HX*=20004
Итерация 0.
X0=00; FX0=10; ∇FX0=20∙0-104∙0+4=-104
∇FX0=-102+42=100+16=116≈10,77033
Итерация 1.
Вычислим точку X1 по формуле: X1=X0-t0∇FX0. Зададим шаг t0=0,01
X1=00-0,01∙-104=0,1-0,04
FX1=10∙0,12+2∙-0,042-10∙0,1+4∙-0,04+10=8,9432
FX1<FX0, следовательно, шаг выбран удачно.
∇FX1=20∙0,1-104∙-0,04+4=-83,84
∇FX1=-82+3,842=78,7456≈8,87387
Итерация 2.
Вычислим точку X2 по формуле: X2=X1-t1∇FX1 . Зададим шаг t1=0,01
X2=0,1-0,04-0,01∙-83,84=0,18-0,0784
FX2=10∙0,182+2∙-0,07842-10∙0,18+4∙-0,0784+10=8,22269
FX2<FX1, следовательно, шаг выбран удачно.
∇FX2=20∙0,18-104∙-0,0784+4=-6,43,6864
∇FX2=-6,42+3,68642=54,54955≈7,38577
Итерация 3.
Вычислим точку X3 по формуле: X3=X2-t2∇FX2. Зададим шаг t2=0,01
X3=0,18-0,0784-0,01∙-6,43,6864=0,244-0,11526
FX3=10∙0,2442+2∙-0,115262-10∙0,244+4∙-0,11526+10=7,72088
FX3<FX2, следовательно, шаг выбран удачно.
∇FX3=20∙0,244-104∙-0,11526+4=-5,123,53894
∇FX3=-5,122+3,538942=38,73853≈6,22403
Приведенные вычисления представим в виде таблицы
№ y
z
t
∇y
∇z
∇FX
F
0 0
0
-
-10
4
10,77033
10
1 0,1
-0,04
0,01
-8
3,84
8,87387
8,9432
2 0,18
-0,0784
0,01
-6,4
3,6864
7,38577
8,22269
3 0,244
-0,11526
0,01
-5,12
3,53894
6,22403
7,72088
1в)
Итерация 0. Итерация 0 совпадает с 0-й итерацией метода градиентного спуска.
Итерация 1.
Вычислим точку X1 по формуле: X1=X0-t0∇FX0.
X1=00-t0∙-104=10t0-4t0
Вычислим шаг t0:
FX1=10∙10t02+2∙-4t02-10∙10t0+4∙-4t0+10=1032t02-116t0+10
dFX1dt0=2064t0-116=0t0=1162064=0,05620
d2FX1dt02=2064>0 при t0=0,0526 функция FX1 принимает минимальное значение
X1=10∙0,0526-4∙0,0526=0,526-0,22481
FX1=1032∙0,05262-116∙0,0526+10=6,7537
∇FX1=20∙0,526-104∙-0,22481+4=0,523,10076
∇FX1=0,522+3,100762≈3,14406
Приведенные вычисления представим в виде таблицы
№ y
z
t
∇y
∇z
∇FX
F
0 0
0
-
-10
4
10,77033
10
1 0,526
-0,22481
0,05620
0,52
3,10076
3,14406
6,7537
1г)
Итерация 0