Аналитически отыскать безусловный экстремум функции используя аппарат необходимых и достаточных условий

А) Аналитически отыскать безусловный экстремум функции, используя аппарат необходимых и достаточных условий.
Запишем градиент функции:
∇fX=-2y+1-6z-6
Запишем необходимые условия экстремума и вычислим координаты стационарных точек:
-2y+1=0-3z-6=0
2y=13z=-6
x=0,5z=-2
Получена стационарная точка функции X*=0,5-2
Составим матрицу Гессе:
∂2f∂y2=-2;
∂2f∂y∂z=0;
∂2f∂z∂y=0;
∂2f∂z2=-6;
H=-200-6
Вычислим матрицу Гессе в полученной стационарной точке:
HX*=-200-6
Определим характер полученной стационарной точки, используя критерий Сильвестра:
∆1=-2<0
∆2=-2*(-6)-0=12>0
Матрица Гессе является отрицательно определенной HX*<0, значит точка X*=0,5-2 является точкой локального максимума функции.
f0,5-2 =-0,52-3*(-2)2+0,5-6*-2-10=-9,75
Ответ: Функция f(X) имеет локальный безусловный максимум в точке с координатами X*=0,5-2.
б) Из начальной точки с координатами (0,0) сделать в направлении экстремума 3 итерации методом градиентного спуска (точность счета - 5 знаков после запятой).
f(X)=-y2-3z2+y-6z-10→extr
Перейдем к задаче на минимум:
f(X)=y2+3z2-y+6z+10→extr
Запишем градиент функции:
∇fX=2y-16z+6
Итерация 0:
X0=00
fX0=02+3*02-0+6*0+10=10
∇fX0=2y-16z+6=-16
∇fX0=(-1)2+62=6,08276
Итерация 1:
Вычислим точку X1 по формуле:
X1=X0-t0∇fX0
Примем шаг t0=0,1
X1=00-0,1*-16=0,1-0,6
fX1=9,79
fX1<fX0, значит шаг выбран удачно
∇fX1=2*0,1-16*(-0,6)+6=-0,82,4
∇fX1=(-0,8)2+(2,4)2=2,52982
Итерация 2:
Вычислим точку X2 по формуле:
X2=X1-t1∇fX1
Примем шаг t1=0,1
X2=0,1-0,6-0,1*-0,82,4=0,18-0,84
fX2=6,9292
fX2<fX1, значит шаг выбран удачно
∇fX2=-0,640,96
∇fX2=(-0,64)2+(0,96)2=1,15378
Итерация 3:
Вычислим точку X3 по формуле:
X3=X2-t2∇fX2
Примем шаг t2=0,1
X3=0,18-0,84-0,1*-0,640,96=0,244-0,936
fX3=6,82782
fX3<fX2, значит шаг выбран удачно
∇fX3=-0,5120,384
∇fX3=(-0,512)2+0,3842=0,64
Приведенные вычисления представим в виде таблицы:
№ x y t ∇x
∇y
∇fX
f
0 0 0
-1 6 6,08276 10
1 0,1 -0,6 0,1 -0,8 2,4 2,52982 9,79
2 0,18 -0,84 0,1 -0,64 0,96 1,15378 6,9292
3 0,244 -0,936 0,1 -0,512 0,384 0,64 6,82782
в) Из начальной точки с координатами (0,0) сделать в направлении экстремума 1 итерацию методом наискорейшего спуска (точность счета - 5 знаков после запятой)
f(X)=-y2-3z2+y-6z-10→extr
Перейдем к задаче на минимум:
f(X)=y2+3z2-y+6z+10→extr
Запишем градиент функции:
∇fX=2y-16z+6
Итерация 0:
X0=00
fX0=02+3*02-0+6*0+10=10
∇fX0=2y-16z+6=-16
∇fX0=(-1)2+62=6,08276
Итерация 1:
Вычислим точку X1 по формуле:
X1=X0-t0∇fX0
X1=00-t0*-16=t0-6t0
Вычислим шаг t0:
f(X1)=(t0)2+3*(-6t0)2-t0-6*(-6t0)+10=109t02-37t0+10
dfX1dt0=218t0-37>0
t0=0,16972
d2fX1dt02=218>0
при t0=0,16972 функция fX1 принимает минимальное значение
X1=0,16972-1,01835
fX1=6,86009
∇fX1=-0,66055-0,11009
∇fX1=(-0,66055)2+(-0,11009)2=0,66966
г) Из начальной точки с координатами (0,0) сделать в направлении экстремума 2 итерации методом сопряженных градиентов (точность счета - 5 знаков после запятой).
f(X)=-y2-3z2+y-6z-10→extr
Перейдем к задаче на минимум:
f(X)=y2+3z2-y+6z+10→extr
Запишем градиент функции:
∇fX=2y-16z+6
Итерация 0:
X0=00
fX0=02+3*02-0+6*0+10=10
∇fX0=2y-16z+6=-16
∇fX0=(-1)2+62=6,08276
Итерация 1:
Вычислим точку X1 по формуле:
X1=X0-t0∇fX0
X1=00-t0*-16=t0-6t0
Вычислим шаг t0:
f(X1)=(t0)2+3*(-6t0)2-t0-6*(-6t0)+10=109t02-37t0+10
dfX1dt0=218t0-37>0
t0=0,16972
d2fX1dt02=218>0
при t0=0,16972 функция fX1 принимает минимальное значение
X1=0,16972-1,01835
fX1=6,86009
∇fX1=-0,66055-0,11009
∇fX1=(-0,66055)2+(-0,11009)2=0,66966
Итерация 2:
Вычислим точку X2 по формуле:
X2=X1+t1d1
d1=-∇fX1+β0d0
d0=-∇fX0
β0=∇fX12∇fX02
β0=0,6696626,082762=0,01212
d1=--0,66055-0,11009+0,01212*1-6=0,672670,03737
X2=0,16972-1,01835+t10,672670,03737=0,16972+0,67267t1-1,01835+0,03737t1
f(X2)=0,45667t12-0,44845t1+6,86010
dfX2dt1=0,91335t0-0,44845>0
t1=0,491
d2fX2dt12=0,91335>0
при t1=0,491 функция fX2 принимает минимальное значение
X2=0,5-1
f(X2)=6,75
∇fX2=00
∇fX1=0
Приведенные вычисления представим в виде таблицы:
№
0 y z t ∇y
∇z
∇fX
f
0
0
- -1 6 6,08276
10
β
dy
dz
- 0 -6
1 y z t ∇y
∇z
∇fX
f
0,16972
-1,01835
0,16972 -0,66055 -0,11009 0,66966
6,86009
β
dy
dz
0,01212 0,67267 0,03737
2 y z t ∇y
∇z
∇fX
f
0,5 -1 0,491 0 0 0 6,75
д) Из начальной точки с координатами (0,0) сделать в направлении экстремума 1 итерацию методом Ньютона (точность счета - 5 знаков после запятой)
f(X)=-y2-3z2+y-6z-10→extr
Перейдем к задаче на минимум:
f(X)=y2+3z2-y+6z+10→extr
Запишем градиент функции:
∇fX=2y-16z+6
Итерация 0:
X0=00
fX0=02+3*02-0+6*0+10=10
∇fX0=2y-16z+6=-16
∇fX0=(-1)2+62=6,08276
Итерация 1:
Вычислим точку X1 по формуле:
X1=X0-H-1X0∇fX0
Вычислим матрицу обратную к матрице Гессе, вычисленной в точке X0:
HX0=2006
H-1X0=0,5000,16667
Тогда
X1=00-0,5000,16667*-16=-0,51
f-0,51 =(-0,5)2+3*12-0,5+6*1+10=6,75
∇fX1=00
∇fX1=02+02=0
Этап №2 Тема: Методы решения ЗНП при ограничениях типа равенства