Решение линейного интегрального уравнения второго рода фредгольма

Введение

Теория линейных интегральных уравнений, по-прежнему, остается актуальной фундаментальной областью математики. Во многих математических задачах рассмотрение моделей, процессов и явлений связано с построением дифференциальных уравнений различного порядка, алгоритмы решений которых определяются граничными условиями.
В ряде случаев дифференциальные уравнения удается свести к линейным интегральным уравнениям. При этом разнообразные дифференциальные уравнения с частными или индивидуальными производными могут быть выражены в виде одного того же типа линейного интегрального уравнения. С этой точки зрения, теория решения линейных интегральных уравнений может представлять собой основу исследований явлений и процессов во многих научных областях, включая механику сплошной среды, химические реакции, электрические и магнитные поля, гидро- и электростатику и т. д.
В качестве примера перехода от дифференциальных к интегральным уравнениям можно привести задачу по определению формы прогиба оси стержня при задании функции нагрузки при равновесии стержня. Как показано в работе (Привалов, 2017), в этом случае, следуя терминологии Гильберта, дифференциальное уравнение сводится к линейному интегральному уравнению Фредгольма первого рода. Если же стержень перейдет из состояния равновесия в колебательный режим, то дифференциальное уравнение сведется к линейному интегральному уравнению Фредгольма второго рода. В силу этих особенностей актуальными задачами являются сами методы решения линейных интегральных уравнений, их оптимизация и уточнение. Существенной проблемой интегральных уравнений Фредгольма является поиск приближенного или точного решения интегрального уравнения при заданном значении параметра семейства уравнений λ.
Существует достаточно большое число разных прямых, сводящих решение к системе алгебраических уравнений, и проекционных методов решения интегрального уравнения Фредгольма второго рода, включая методы квадратур, вырожденных ядер, наименьших квадратов, Галеркина-Петрова, коллокации, подобластей, Ритца, Келлога и др (Кутыркин, 2013;Крачевский, 2017). Важнейшими параметрами эффективности работы методов служат: установление осуществимости и сходимости алгоритма, исследование быстроты сходимости, получение эффективной оценки погрешности, исследование устойчивости решений и доказательство оптимальности использования метода (Агачев,2006). В настоящей работе рассматривается особенности в структуре построения решений интегральных уравнений Фредгольма второго рода с помощью основных методов: последовательных приближений, квадратурного метода конечных сумм, а также при помощи построения резольвенты и вырожденного ядра.

Линейные интегральные уравнения
1.Линейное интегральное уравнение второго рода Фредгольма как частный случай интегрального уравнения в общей форме
Интегральным уравнением называют уравнение относительно неизвестной функции, стоящей под знаком интеграла. В общем виде линейное интегральное уравнение можно записать в следующей форме (Цветницкая,2009):
αxfx+λDKx,tytdt=yx.
В приведенном уравнении используются обозначения D — область интегрирования, fx- известная непрерывная функция часто называемая свободным членом, Kx,t- функция, часто называемая ядром интегрального уравнения, yt- неизвестные функции, λ- числовой параметр. Так как в это уравнение неизвестная функция ytвходит в первой степени, то оно является линейным.
Пусть одна из границ интегрирования принимает переменное значения, а другая постоянную величину, в этом случае уравнение называется интегральным уравнением Вольтерры первого рода:
axKx,tytdt=fx
Если же неизвестная функция входит в уравнение, как под знак интеграла, так и вне интеграла, то уравнение называется интегральным уравнением Вольтерры второго рода соответственно:
fx+λaxKx,tytdt=yx.
В случае, если обе границы интернирования постоянны, то интегральное уравнение называется уравнением Фредгольма, соответственно первого рода:
abKx,tytdt=fx, a⩽x⩽b
и второго рода:
fx+λabKx,tytdt=yx, a⩽x⩽b

.
В целом уравнения могут быть использованы без параметра λ, в этом случае выражение будут представлять собой одно уравнение, а не семейство уравнений. Хотя с формальной точки зрения, уравнения Фредгольма могут быть рассмотрены, как частный случай представления интегральных уравнений Вольтерры, методы их решений существенно отличаются. Это связано с различными требованиями, накладываемых на ядра уравнений (Попов, 2006).

2. Методы решения линейных интегральных уравнений второго рода Фредгольма (с постоянными пределами)
2.1 Метод последовательных приближений
Под решением уравнения понимается процедура, которая позволяет найти такую неизвестную функцию, которая обращает данное выражение в тождество.
В рамках решения линейных интегральных уравнений второго рода Фредгольма мы рассмотрим несколько методов. В частности, интерес представляет метод последовательных приближений.
Рассмотрим уравнение в следующей форме:
fx+λabKx,tytdt=yx.
Считая, что K (x,t) — непрерывная функция, тогда решение уравнения Фредгольма существует и единственно при λ<1B. Здесь введено следующее обозначение B=ababKx,t2dxdt12.
Метод последовательных приближений связан с произвольным выбором нулевого приближения и дальнейшим построением последовательности функций в соответствии со следующими выражениями:
y1x=fx+λabKx,ty0tdt
y2x=fx+λabKx,ty1tdt
y3x=fx+λabKx,ty2tdt
ynx=fx+λabKx,tyn-1tdt
Последовательность yn можно свести к точному решению путем рассмотрения предела при n, стремящимся к бесконечности (Килбас,2012).
В качестве примера найдем решение уравнения :
sinπx+1201ytdt=yx
Здесь Kx,t=1, λ=1/2, B=ababKx,t2dxdt12=010112dxdt12=1
Таким образом, условие λ<1Bвыполняется.
Взяв в качестве нулевого приближения y0=sinπx, получим:
y1x=sinπx+1201y0tdt=sinπx+1201sinπtdt=sinπ+12-1πcosπ+1πcos0=sinπx+1π
y2x=sinπx+1201y1tdt=sinπx+1201sinπt+1πdt=sinπx+12-1πcosπ+11π+1πcos0=
sinπx+1π+12π
y3x=sinπx+1201y2tdt=sinπx+1201sinπt+1π+12πdt=sinπx+1π+12π+14π
Можно заметить, что в наблюдаемой системе строящихся решений имеется зависимость
ynx=sinπx+1π+12π+14π=sinπx+1πk=0n-112k
Таким образом, точное решение можно найти в виде предела от этой последовательности:yx=limn→∞ynx=sinπx+1π+12π+14π=sinπx+1πk=0∞12k=sinπx+2π(предел равен 2, так как первый член равен 1 (при k=0), а знаменатель определяется как 1/(1/2)=2).

2.2 Теоремы существования и единственности решений
Рассмотрим следующие теоремы.
а. Рассмотрим интегральное уравнение Фредгольма второго рода: fx+λabKx,tytdt=yxна конечном отрезке a⩽x⩽b. Если fx∈Сa,b,Kx,t∈Cm,λ∈Cи выполняется λ<1B, то интегральное уравнение Фредгольма второго рода имеет непрерывное решение на отрезкеa⩽x⩽b.
б. Если при некотором значении λ существует непрерывная в квадрате m функция резольвента R(x,t, λ), удовлетворяющая уравнениям:
Rx,t,λ=Kx,t=λabKx,t1Rt1,t,λdt1Rx,t,λ=Kx,t=λabKt1,tRx,t1,λdt1,
то существует единственная форма решения интегрального уравнения Фредгольма второго рода при этом значении λ