Определение коэффициента корреляции и корреляционной функции

Введение
Корреляционным анализом называется исследование, проводимое для подтверждения или опровержения гипотезы о статистической связи между несколькими (двумя и более) переменными. "Корреляция" в прямом переводе означает "соотношение". Если изменение одной переменной сопровождается изменением другой, то можно говорить о корреляции этих переменных. В настоящее время корреляционный анализ расширяет область применения, это связано с рядом причин. Во-первых, становится допустимым изучение широкого круга переменных, экспериментальная проверка которых затруднена или невозможна. Во-вторых, за короткое время можно получить больше важных характеристик об исследуемых единицах. Другими словами, установив корреляцию переменных, мы можем судить, насколько тесно взаимосвязаны изменения переменных и каким образом одна из них реагирует на динамику другой.
1. Коэффициенты корреляции
Коэффициенты корреляции является общепринятой в математической статистике характеристикой связи между двумя случайными величинами. Коэффициент корреляции - показатель степени взаимозависимости, статистической связи двух переменных; изменяется в пределах от -1 до +1. Значение коэффициента корреляции 0 указывает на возможное отсутствие зависимости, значение +1 свидетельствует о согласованности переменных.
Различают следующие коэффициенты корреляции:
- дихотомический - показатель связи признаков (переменных) измеряемых по дихотомическим шкалам наименований;
- Пирсона (Pearson product-moment correlation) - коэффициент корреляции, используемый для континуальных переменных;
- ранговой корреляции Спирмена (Spearmen's rank-order correlation) - коэффициент корреляции для переменных, измеренных в порядковых (ранговых) шкалах;
- точечно-бисериальной корреляции (point-biserial correlation) - коэффициент корреляции, применяемый в случае анализа отношения переменных, одна из которых измерена в континуальной шкале, а другая - в строго дихотомической шкале наименований;
- j - коэффициент корреляции, используемый в случае, если обе переменные измерены в дихотомической шкале наименований.
- тетрахорический (четырехпольный) (tetrachoric) - коэффициент корреляции, используемый в случае, если обе переменные измерены в континуальных шкалах.
Линейная связь между переменными Xi и Xj оценивается коэффициентом корреляции:
(1)
где Xi и Xj – исследуемые переменные; mXi и mXj – математические ожидания переменных; σX и σX – дисперсии переменных.
Выборочный коэффициент корреляции определяют по формуле:
(2)
или по преобразованной формуле:
(3)
где i =1, 2, ..., n, j = 1, 2, ..., m, u = 1, 2, ..., N; N – число опытов(объем выборки); xi , xj – оценки математических ожиданий; SXi , SXj – оценки среднеквадратических отклонений.
Только при совместной нормальной распределенности исследуемых случайных величин Xi и Xj коэффициент корреляции имеет определенный смысл связи между переменными. В противном случае коэффициент корреляции может только косвенно характеризовать эту связь [1].
2. Нормированный коэффициент корреляции Браве-Пирсона
В качестве оценки генерального коэффициента корреляции р используется коэффициент корреляции Браве-Пирсона. Для его определения принимается предположение о двумерном нормальном распределении генеральной совокупности, из которой получены экспериментальные данные

. Это предположение может быть проверено с помощью соответствующих критериев значимости. Следует отметить, что если по отдельности одномерные эмпирические распределения значений xi и yi согласуются с нормальным распределением, то из этого еще не следует, что двумерное распределение будет нормальным. Для такого заключения необходимо еще проверить предположение о линейности связи между случайными величинами Х и Y. Строго говоря, для вычисления коэффициента корреляции достаточно только принять предположение о линейности связи между случайными величинами, и вычисленный коэффициент корреляции будет мерой этой линейной связи.
Коэффициент корреляции Браве–Пирсона () относится к параметрическим коэффициентам и для практических расчетов вычисляется по формуле:
(4)
Из формулы видно, что для вычисления необходимо найти средние значения признаков Х и Y, а также отклонения каждого статистического данного от его среднего . Зная эти значения, находятся суммы . Затем, вычислив значение , необходимо определить достоверность найденного коэффициента корреляции, сравнив его фактическое значение с табличным для f = n –2. Если , то можно говорить о том, что между признаками наблюдается достоверная взаимосвязь. Если , то между признаками наблюдается недостоверная корреляционная взаимосвязь [2].
3. Коэффициент ранговой корреляции Спирмена
Если потребуется установить связь между двумя признаками, значения которых в генеральной совокупности распределены не по нормальному закону, т. е. предположение о том, что двумерная выборка (xi и yi) получена из двумерной нормальной генеральной совокупности, не принимается, то можно воспользоваться коэффициентом ранговой корреляции Спирмена ():
(5)
где dx и dy – ранги показателей xi и yi; n – число коррелируемых пар.
Коэффициент ранговой корреляции также имеет пределы 1 и –1. Если ранги одинаковы для всех значений xi и yi, то все разности рангов (dx - dy) = 0 и = 1. Если ранги xi и yi расположены в обратном порядке, то = -1. Таким образом, коэффициент ранговой корреляции является мерой совпадения рангов значений xi и yi .
Когда ранги всех значений xi и yi строго совпадают или расположены в обратном порядке, между случайными величинами Х и Y существует функциональная зависимость, причем эта зависимость не обязательно линейная, как в случае с коэффициентом линейной корреляции Браве-Пирсона, а может быть любой монотонной зависимостью (т. е. постоянно возрастающей или постоянно убывающей зависимостью). Если зависимость монотонно возрастающая, то ранги значений xi и yi совпадают и = 1; если зависимость монотонно убывающая, то ранги обратны и = –1. Следовательно, коэффициент ранговой корреляции является мерой любой монотонной зависимости между случайными величинами Х и Y.
Из формулы видно, что для вычисления необходимо сначала проставить ранги (dx и dy) показателей xi и yi, найти разности рангов (dx - dy) для каждой пары показателей и квадраты этих разностей (dx - dy)² . Зная эти значения, находятся суммы , учитывая, что всегда равна нулю. Затем, вычислив значение , необходимо определить достоверность найденного коэффициента корреляции, сравнив его фактическое значение с табличным