Критерии оптимальности и типы планов. Параметры оптимизации

Введение
Планирование эксперимента – процедура выбора числа опытов и условий их проведения, необходимых для решения поставленной задачи с требуемой точностью. Все факторы, определяющие процесс, изменяются одновременно по специальным правилам, а результаты эксперимента представляются в виде математической модели. Задачи, для решения которых может использоваться планирование эксперимента, чрезвычайно разнообразны. К ним относится поиск оптимальных условий, построение интерполяционных формул, выбор существенных факторов, оценка и уточнение констант теоретических моделей, выбор наиболее приемлемых из некоторого множества гипотез о механизме явлений, исследование диаграмм «состав–свойство» и т. д.
Поиск оптимальных условий является одной из наиболее распространенных научно-технических задач. Она возникает в тот момент, когда установлена возможность проведения процесса и необходимо найти наилучшие (оптимальные) условия его реализации. Такие задачи называются задачами оптимизации. Процесс их решения называется процессом оптимизации или просто оптимизацией. Примеры задачи оптимизации – выбор оптимального состава многокомпонентных смесей и сплавов, повышение производительности действующих установок, повышение качества продукции, снижение затрат на ее получение и т. п.
Сегодня в мире в условиях современной рыночной экономики и роста промышленных городов немаловажно уделить внимание обеспечению техносферной безопасности. Данный вид безопасности содержит в себе комплекс различных видов мер по предотвращению опасных факторов не только на производстве, но и в быту.
Необходимо понимать, что возникновение пожаров полностью устранить не возможно. При оценке пожарной безопасности необходимо, прежде всего, знать об определенном уровне пожарной опасности допустимой для общества и государства. Для поддержания определенного уровня пожарной опасности государство выработало систему обеспечения пожарной безопасности. Система обеспечения пожарной безопасности - совокупность сил и средств, а так же мер правового, организационного, экономического, социального и научно-технического характера, направленных на борьбу с пожарами. Тушение пожаров и проведение связанных с ними первоочередных аварийно-спасательных работ является одной из основных функций системы обеспечения пожарной безопасности. Подразделения пожарной охраны ведут различного рода действия по тушению пожаров на различных объектах, которые во многом друг от друга по своему предназначению, конструктивно-планировочным решениям, а так же применением разного рода технического оборудования и материалов. Для успешной борьбы с пожарами личному составу пожарной охраны необходимы познания в закономерности развития пожара, способах и приемах спасения людей и тушения пожаров, а так же способов ведения действий по тушению пожаров.
Наши дома составляют большую пожарную опасность. Значительное количество горючих материалов в виде мебели, ковров, книг, одежды, игрушек, бытовых приборов, которые имеют пластмассовые корпуса и детали, предметов бытовой химии, бумаги и т.д. формируют значительное горюче нагрузки и создают условия для быстрого распространение пожара.
Практически в каждом доме есть телевизор, который работает в течение не одной часа. В телевизорах используются элементы, которые способны нагреваться до высокой температуры. Пыль, которая накапливается в этих аппаратах, также пожароопасный. Пожары, возникающие в телевизорах, быстро распространяются и есть особенно опасными из-за внезапности.
Критерии оптимальности и типы планов
В настоящее время используется свыше 20 различных критериев оптимальности планов, которые подразделяются на две основные группы. К первой группе относят критерии, связанные с ошибками оценок коэффициентов, а ко второй – с ошибкой оценки поверхности отклика [2]. Далее будем характеризовать только те критерии, которые наиболее часто применяются при решении задач оптимизации, описания поверхности отклика и оценки влияния факторов.
Критерии первой группы представляют интерес для задач оптимизации, выделения доминирующих (наиболее значимых) параметров на начальных этапах решения оптимизационных задач или для выявления несущественных параметров в задачах восстановления закономерности функционирования объекта. Геометрическое истолкование свойств ошибок коэффициентов связано со свойствами эллипсоида их рассеяния, определяемого математическим ожиданием и дисперсией значений ошибок. Пространственное расположение, форма, и размер эллипсоида полностью зависят от плана эксперимента.
Критерию D-оптимальности соответствует минимальный объем эллипсоида рассеяния ошибок (минимум произведения всех дисперсий коэффициентов полинома). В соответствующем плане эффекты факторов максимально независимы друг от друга. Этот план минимизируют ожидаемую ошибку предсказания функции отклика. Критерию A-оптимальности соответствует план с минимальной суммарной дисперсией всех коэффициентов. Критерию E-оптимальности – план, в котором максимальная дисперсия коэффициентов будет минимальна.
Выбор критерия зависит от задачи исследования, так при изучении влияния отдельных факторов на поведение объекта применяют критерий Е-оптимальности, а при поиске оптимума функции отклика – D-оптимальности. Если построение D-оптимального плана вызывает затруднения, то можно перейти к А-оптимальному плану, построение которого осуществляется проще.
Суть используемого критерия D-оптимальности состоит в требовании выбора таких планов, которые обеспечивают минимальный объем эллипсоида рассеяния оценок коэффициентов модели. Эллипсоид рассеяния имеет такие размеры, что ковариационная матрица случайного вектора (), равномерно распределенного на нем, совпадает с матрицей дисперсии D(P). Чем сильнее рассеяние вектора относительно центра распределения, тем большие размеры имеет эллипсоид рассеяния, которые являются мерой концентрации случайного вектора р около его математического ожидания, равного истинному значению вектора коэффициентов модели. Таким образом, D-оптимальный план позволяет получить оценки, имеющие минимально возможное рассеяние относительно центра распределения.
Критерий D-оптимальности требует такого выбора плана D, содержащего N опытов, при котором определитель С имеет минимальную величину. Естественно, точки постановки опытов должны выбираться из условия принадлежности их к заданной области Qx.
Другой путь практического использования критерия D-оптимальности для решения сформулированной задачи планирования эксперимента связан с отказом от строгого выполнения условий оптимальности. Он заключается в следующем: каким-либо образом находят D-оптимальные планы для различных видов моделей ряда типовых областей Од, не связанные с заданным числом экспериментов, а лишь определяющие соотношение числа опытов в различных точках области Qv. Такие планы называются непрерывными. Далее исследователь, задавшись некоторым N и пользуясь непрерывным планом, определяет конкретный план эксперимента, стремясь соблюсти соотношения частот непрерывного D-оптимального плана. Полученный план может быть не строго D-оптимальным, а лишь близким к нему.
Критерии второй группы используются при решении задач описания поверхности отклика, определения ограничений на значения параметров. Основным здесь является критерий G-оптимальности, который позволяет построить план с минимальным значением наибольшей ошибки в описании функции отклика. Применение G-оптимального плана дает уверенность в том, что в области планирования нет точек с чрезмерно большой ошибкой описания функции.
Среди всех классов планов основное внимание в практической работе уделяется ортогональным и ротатабельным планам.
Ортогональным называется план, для которого выполняется условие парной ортогональности столбцов матрицы планирования, в частности, для независимых переменных.
При ортогональном планировании коэффициенты полинома определяются независимо друг от друга – вычеркивание или добавление слагаемых в функции отклика не изменяет значения остальных коэффициентов полинома. Для ортогональных планов эллипсоид рассеяния ориентирован в пространстве так, что направления его осей совпадают с направлениями координат пространства параметров.
Использование ротатабельных планов обеспечивает для любого направления от центра эксперимента равнозначность точности оценки функции отклика (постоянство дисперсии предсказания) на равных расстояниях от центра эксперимента. Это особенно важно при решении задач поиска оптимальных значений параметров на основе градиентного метода, так как исследователь до начала экспериментов не знает направление градиента и поэтому стремится принять план, точность которого одинакова во всех направлениях. В ряде случаев при исследовании поверхности отклика требуется униморфность модели, а именно, соблюдение постоянства значений дисперсии ошибки в некоторой области вокруг центра эксперимента. Выполнение такого требования целесообразно в тех случаях, когда исследователь не знает точно расположение области поверхности отклика с оптимальными значениями параметров. Указанная область будет определена на основе упрощенной модели, полученной по результатам экспериментов.
По соотношению между количеством оцениваемых неизвестных параметров модели и количеством точек плана эксперимента все планы подразделяются на три класса: ненасыщенные – количество параметров меньше числа точек плана; насыщенные – обе величины одинаковы; сверхнасыщенные – количество параметров больше числа точек плана. Метод наименьших квадратов применяют только при ненасыщенном и насыщенном планировании, и он не применим для сверхнасыщенного планирования.
G-оптимальные планы гарантируют отсутствие в области эксперимента точек, имеющих слишком низкую точность оценки отклика.
Q-оптимальные планы минимизируют среднюю дисперсию предсказания.
К III-ей группе относят критерии, связанные со стратегией эксперимента.
Для некоторых планов важную роль играет свойство композиционности. Так, композиционные планы для построения полиномов второго порядка получают добавлением некоторых точек к планам формирования линейных функций. Это дает возможность в задачах исследования сначала попытаться построить линейную модель, а затем при необходимости, добавив наблюдения, перейти к моделям второго порядка, использую ранее полученные результаты и сохраняя при этом некоторое заданное свойство плана, например его ортогональность.
Насыщенность плана обеспечивает минимум числа опытов. Минимум задается числом коэффициентов модели. Приближение к нему служит мерой насыщенности плана.
Шаговый принцип планирования или композиционность планов предусматривает реализацию эксперимента по частям, шаг за шагом. Решение о продолжении эксперимента и выбор метода на каждом последующем шаге принимают только по результатам предыдущего

. Композиционные планы предполагают постепенное усложнение синтезируемой модели.
Между критериями оптимальности и методами построения оптимальных планов экспериментов существует жесткая связь. Построение планов производится или с использованием каталогов планов или с использованием непосредственно методов планирования экспериментов, что является непростой задачей и требует достаточно высокой квалификации исследователя в области ТПЭ.
Кроме рассмотренных критериев в планировании экспериментов вполне естественно применяется критерий минимума числа экспериментов, т.е. среди всех планов желательно выбирать такой, который требует минимального числа опытов при соблюдении требований к качеству оценки функции или ее параметров.
Одной из областей применения ТПЭ является решение задач оптимизации, причем непосредственно для поиска оптимальных решений используются градиентные методы. Вычисление оценки градиента осуществляется на основе обработки экспериментальных данных.
Под параметром оптимизации понимается характеристика цели, заданная количественно. Параметр оптимизации является реакцией (откликом) на воздействие факторов, которые определяют поведение выбранной системы. Реальные объекты или процессы, как правило, очень сложны. Они часто требуют одновременного учета нескольких, иногда очень многих, параметров.
Каждый объект может характеризоваться всей совокупностью параметров или любым подмножеством этой совокупности, или одним единственным параметром оптимизации. В последнем случае прочие характеристики процесса уже не выступают в качестве параметра оптимизации, а служат ограничениями. Другой путь – построение обобщенного параметра оптимизации как некоторой функции от множества исходных.
Параметр оптимизации (функции отклика) – это признак, по которому оптимизируется процесс. Множество значений, которые может принимать параметр оптимизации, называется областью его определения. Области определения могут быть непрерывными и дискретными, ограниченными и неограниченными. Например, выход реакции – это параметр оптимизации с непрерывной ограниченной областью определения. Он может изменяться в интервале от 0 до 100 %.
Количественная оценка параметра оптимизации на практике не всегда возможна. В таких случаях пользуются приемом, называемым ранжированием. При этом параметрам оптимизации присваиваются оценки (ранги) по заранее выбранной шкале: двухбалльной, пятибалльной и т. д. Ранговый параметр имеет дискретную ограниченную область определения.
Выбор параметра оптимизации определяется тем аспектом, который в конкретном случае представляет наибольший интерес.
Параметры оптимизации могут быть весьма разнообразными:
- экономические: прибыль, себестоимость, рентабельность и т.п.;
- технико-экономические: производительность, эффективность, долговечность, надежность и т.п.;
- статистические: характеристика распределения, дисперсия, стандартное отклонение;
- чисто технические: размер, характеристика механических свойств и т.п. При механической обработке могут выбираться такие параметры оптимизации, как стойкость режущего инструмента, точность базирования, точность обработанных поверхностей, шероховатость поверхности детали и т. п.
Параметр оптимизации должен удовлетворять следующим требованиям.
1. Быть количественным, т. е. всегда задаваться числом. То множество значений, которые может принимать параметр оптимизации, называется областью определения. Если нет способа измерения параметра оптимизации или он не может быть количественно зафиксирован, необходимо провести его ранжирование, то есть присвоение рангов по заранее выбранной шкале.
2. Быть однозначным в статистическом смысле, т. е. заданному набору значений факторов должно соответствовать с точностью до ошибки эксперимента определенное значение параметра оптимизации.
3. Быть простым, иметь физический смысл, легко вычисляться и выражаться одним числом.
4. Оценивать действительную эффективность функционирования системы или качество объекта, т.е. задача эксперимента должна ставиться корректно.
5. Обладать по возможности универсальностью и полнотой, то есть всесторонне характеризовать объект исследования, что выполняется далеко не всегда. Например, часто характеристики качества вступают в противоречие с экономическими аспектами.
Параметры оптимизации пожарной безопасности
В настоящее время особую актуальность приобретает оптимизация как набора средств и мероприятий, используемых для обеспечения пожарной безопасности, так и порядка использования его вариантов, с целью достижения максимума вероятности полного или абсолютного обеспечения пожарной безопасности (ПБ).
Для расчета вероятностей полного обеспечения ПБ с учетом условных (при условии использовании определенных средств и мероприятий) вероятностей их воздействия на уровень ПБ, а также безусловных вероятностей, как применения сотрудниками службы пожарной безопасности средств и мероприятий, так и проявления различных дестабилизирующих пожарную безопасность факторов.
Выбор оптимальных значений величин вероятностей (частот) применения тех или иных наборов средств и мероприятий, используемых для обеспечения пожарной безопасности объекта, максимизирующих критерий эффективности, составляет в конечном итоге суть процесса оптимизации порядка выбора из возможных вариантов набора средств и мероприятий обеспечения ПБ, используемых сотрудниками службы пожарной безопасности при полном обеспечении ПБ объекта и его отдельных участков.
Основную сложность при постановке задачи оптимизации порядка применения различных наборов средств и мероприятий обеспечения ПБ, используемых сотрудниками службы пожарной безопасности при полном обеспечении ПБ объекта, представляет задание стоимостных ограничений. Дело в том, что, множества вариантов наборов средств и мероприятий обеспечения ПБ, используемые для обеспечения ПБ на различных участках объекта, могут, как не пересекаться или пересекаться, так и просто совпадать. Данный факт обусловливает возможность использования одного итого же варианта наборов средств и мероприятий при обеспечении полной ПБ на различных участках объекта, что в свою очередь затрудняет оценку общей стоимости применяемого на различных участках варианта набора средств и мероприятий обеспечения ПБ.
В настоящее время в общей системе обеспечения общественной безопасности пожарная безопасность занимает особое место. Предшествовало этому множество трагических событий, произошедших на различных объектах, в том числе в многофункциональных зданиях.
Полным факторным называется такой эксперимент, при котором определяется значение выходного параметра (параметра оптимизации) при всех возможных сочетаниях уровней варьирования факторов.
Планирование, проведение и обработка результатов ПФЭ включают следующие этапы:
кодирование факторов;
составление плана или плана-матрицы эксперимента;
рандомизацию опытов;
реализацию плана эксперимента;
проверку воспроизводимости опытов;
вычисление и проверку значимости коэффициентов уравнения регрессии;
проверку адекватности регрессионной модели.
Поскольку факторы зачастую неоднородны и могут иметь различные единицы измерения, а числа, выражающие величины факторов, могут иметь различные порядки, их следует привести к единой системе счисления путем перехода от действительных значений факторов к кодированным по формулам.
Построение плана-матрицы эксперимента сводится к стандартной форме записи условий проведения опытов в виде таблицы, в строках которой записывают данные опытов, в столбцах – факторы (в кодах «+» и «») с реализацией всех возможных сочетаний комбинаций уровней факторов.
В первом столбце таблицы следует менять знаки поочередно, во втором – чередовать их через два, в третьем – через четыре, в четвертом – через восемь и т.д., т.е. по степеням двойки. Общее количество строк в матрице плана для реализации всех возможных сочетаний уровней факторов определяют по формуле
N = 2k,
где N – количество точек плана эксперимента, k – количество независимых факторов.
N = 24 = 16.
Современные научные методы прогнозирования динамики опасных факторов пожара основываются на математических моделях пожара. Математическая модель пожара описывает в самом общем виде изменения параметров состояния среды в помещении с течением времени, а также состояние ограждающих конструкций этого помещения и различных элементов технологического оборудования.
Математические модели пожара в помещении состоят из дифференциальных уравнений, отображающих фундаментальные законы природы: закон сохранения массы и закон сохранения энергии.
Математические модели пожара в помещении делятся на три класса: интегральные, зонные и дифференциальные. 
Так, в одной группе моделей используется псевдоимитационный подход, при котором обстановка на пожаре отображается дискретно в определенной последовательности в виде фрагментов, имитирующих форму площади пожара в плане здания или помещения, разделенного на сектора различной формы, которые подсвечиваются, отображая ту или иную площадь пожара.
Сценарий возможного возникновения пожара от использования бытовых приборов
Технические возможности таких моделей очень ограничены, что не позволяет увидеть увеличение площади пожара (или уменьшение — в процессе тушения) в режиме реального времени. В связи с этим занятия проектируются таким образом, что обучаемым сразу предлагаются определенная форма площади пожара и размеры помещения, по которым следует рассчитать необходимое количество сил и средств и определить решающее направление действий по тушению пожара. В случае ошибки площадь пожара увеличивают (включением дополнительных секторов), и расчет производится снова.
Другая группа моделей включает более современные мультимедийные имитационные системы в форме компьютерных игр с трехмерной графикой и стереозвуком, которые не имеют логико-математического процессора и сколько-нибудь реальной модели распространения пожара. Изменения оперативной обстановки в таких имитаторах запрограммированы заранее как некий сценарий игры, что существенно искажает оценку происходящих на пожаре процессов и делает невозможным их применение при подготовке инженеров пожарной безопасности.
Третья группа моделей представляет собой совокупность дифференциальных, интегральных и зонных моделей пожаров, которые максимально приближены к реальности.
В математическом отношении эти виды моделей характеризуются разным уровнем сложности, обусловленным степенью детализации физико-математической картины пожара.
Наиболее сложными являются полевые (дифференциальные) модели [6], так как они состоят из системы трех- или двумерных нестационарных дифференциальных уравнений в частных производных. Поэтому из-за большого объема вычислений и требуемого для этого машинного времени (иногда для моделирования некоторых условий требуется более месяца) такие модели пока малоприменимы для использования в системе обучения специалистов.
В зонных моделях помещение разбивается на отдельные зоны, в которых для описания тепломассообмена используются соответствующие уравнения законов сохранения