Изучение основ математического и физического моделирования

Введение

Идея моделирования состоит в замене реальной системы, машины или механизма моделью, которая находится с ними в соответствии и способна максимально точно воспроизводить свойства или характеристики реальной системы, то есть эффективно решать все задачи экспериментального исследования. Под моделированием предполагается описание посредством математических уравнений и неравенств реальных процессов. Моделирование позволяет значительно сократить объём экспериментальных исследований и сроки проектирования объектов [4|. Если результаты моделирования подтверждаются, то они могут служить базисом для дальнейшего прогнозирования процессов, протекающих в исследуемых объектах. При этом адекватность модели зависит от цели моделирования и принятых критериев.
Любой процесс в объекте исследования (моделирования) зависит от ряда переменных, которые определяют протекание процессов внутри этого объекта и его состояние в целом.
В настоящее время существует два основных метода моделирования: физический и математический [9].
Физический - это метод, основанный на исследовании модели, имеющей одинаковую физическую природу с оригиналом. Данный метод заменяет эксперимент, что особенно ценно для сложных систем и машин. Это дает возможность исследовать явления, которые происходят в системе-оригинале, причем сохраняя их физическую природу.
Математическая модель системы или механизма есть совокупность математических объектов (чисел, переменных, множеств и т.д.) и зависимостей между ними, которая адекватно описывает свойства технического объекта. С их помощью возможно описывать характеристики и оценивать возможности конкретных систем и конструкций [11].
Математическое моделирование, в свою очередь. представлено в двух основных направлениях:
-построение моделей на основе прямой аналогии.
-построение моделей на основе компьютерного моделирования.


Математическое моделирование физических процессов
При решении различных задач, часто используют математический язык, который позволяет разработать математические модели явлений во всех областях наук. Для математического описания процессов вводятся количественные характеристики: зависимые и независимые переменные. Отношения между переменными и образуют основу математической модели.
Математическая модель - упрощенное описание реальности процессов при помощи математических понятий. Математическое моделирование -процесс построения и изучения математических моделей реальных процессов и явлений

. Вся наука, используя математические методы, связанные с математическим моделированием: заменяют реальный объект его моделью и на основе модели самого объекта исследования. Как и в любом моделировании, математическая модель может не в полной мере описать явление, и дать ответы на все вопросы, представляющие интерес для исследователя.
В последние десятилетия произошел огромный интерес к изучению нелинейных математических моделей, из-за их широкого применения в описании многих явлений в физике и в природе.
Большинство уравнений прикладной и теоретической физики включают варианты или функции, которые являются экспериментальными, и не строго фиксированы. В то же время, уравнения, имитирующие реальные условия и процессы должны быть достаточно простыми, чтобы их можно было успешно анализировать и решать.
Одним из важных направлений современной математической физики является изучение нелинейных математических моделей различных физических и химических явлений, процессов.
Линейные математические модели всегда описывают только определенное приближение в описании различных процессов. Их можно использовать только в тех случаях, когда исследуемые физические величины в рассматриваемом процессе изменяются не в очень широком диапазоне значений.
Нелинейные модели позволяют описать процессы в более широком диапазоне параметров. В основе нелинейных моделей лежат нелинейные дифференциальные уравнения в частных производных, законченной теории и общих методов решения задач для которых в настоящее время не разработано.
Тем не менее, для ряда нелинейных задач математической физики нс возможно найти точные аналитические решения, анализ которых раскрывает качественно новые нелинейные свойства изучаемых процессов.
Этапы математического моделирования:
1. построение математической модели;
2. выбор метода решения и построение алгоритма моделирования;
3. разработка компьютерной вычислительной установки;
4. вычислительный эксперимент;
5. обработка и анализ результатов вычислительного эксперимента [1].
Если построена математическая модель физических объектов, то ее можно решить различными методами.
Сегодня актуальным является решение задач моделирования на интегрированных программных системах автоматизации математических расчетов. Одним из таких мощных пакетов является графический пакет системы Maple.
Приведем пример математического моделирования (на программе Maple)
Данный конкретный пример позволяет увидеть движение частицы, при помощи математического моделирования.
Математическое моделирование на сегодняшний день является наиболее совершенным и эффективным методом моделирования, открывая путь для применения современных мощных методов математического анализа, вычислительной математики и программирования при исследовании и оптимизации технологических процессов.


Основы физического моделирования
Моделирование физическое - вид моделирования, который состоит в замене изучения некоторого объекта или явления экспериментальным исследованием его модели, имеющей ту же физическую природу.
В науке любой эксперимент, производимый для выявления тех или иных закономерностей изучаемого явления или для проверки правильности и границ применимости найденных теоретическим путем результатов, по существу представляет собою моделирование, т