Исследование функции средствами дифференциального исчисления.

Введение

Во многих математических задачах рассмотрение моделей, процессов и явлений связано с применением средств дифференциального исчисления, построением дифференциальных уравнений различного порядка. При помощи дифференциального представления происходит построение систем уравнений движения в механике и динамике сред, основанных на втором законе Ньютона. Наиболее часто в практических приложения исследователям приходится иметь дело с сеткой, в узлах которой доступна информация о процессах (функциях). В ряде задач узлы сетки располагаются на существенном удалении (Монин,1968). Помимо физических аспектов дифференциальные средства широко применяются в планировании экономики, статистики и т.д .(Кремер, 2002; Красс, 2008, Соловьев,2012).
Дифференциальному исчислению посвящено множество работ, рассматривающих как функцию одной, так и нескольких переменных (Баврин, 2005, Бер, 2010, Бермант, 1965, Владимирский,2005). Одним из важнейших понятий дифференциального исчисления является производная функции f(x) в точке x, под которой понимается предел отношения приращения функции в этой точке к приращению аргумента, при условии, что приращение аргумента стремится к нулю ( Письменный, 2003):
f'x=limΔx→0fx+Δx-fxΔx.
Само по себе условие устремления приращения аргумента к 0 налагает ограничение на характер функции в пределах этого, хоть и бесконечно малого, но конечного приращения, а именно изменения функции должны быть линейны. Эта накладывает ограничения на применение средств дифференциальных исчисления.
Часто вместо функции одной переменной приходится рассматривать функции многих переменных, когда любой произвольной паре чисел по некоторому закону сопоставляется значение переменной называемое функцией (Анкилов,2004; Гордеева, 2013).
В ряде случаев дифференциальные уравнения удается свести к линейным интегральным уравнениям (Гусак,2001). При этом разнообразные дифференциальные уравнения с частными или индивидуальными производными могут быть выражены в виде одного того же типа линейного интегрального уравнения (Килбас, 2005, Кутыркин,2012). С этой точки зрения, теория решения дифференциальных и линейных интегральных уравнений может представлять собой основу исследований явлений и процессов во многих научных областях, включая механику сплошной среды, химические реакции, электрические и магнитные поля, гидро- и электростатику и т. д.
В качестве примера перехода от дифференциальных к интегральным уравнениям можно привести задачу по определению формы прогиба оси стержня при задании функции нагрузки при равновесии стержня. Как показано в работе (Привалов, 2017), в этом случае, следуя терминологии Гильберта, дифференциальное уравнение сводится к линейному интегральному уравнению Фредгольма первого рода. Если же стержень перейдет из состояния равновесия в колебательный режим, то дифференциальное уравнение сведется к линейному интегральному уравнению Фредгольма второго рода (Цветницкая,2009).
Целью работы является рассмотреть основу структуры исследований функций методами дифференциального исчисления, возможности их применения на практике. В соответствии с целью были поставлены задачи по определению понятий и теорем, необходимых для понимания основных свойств функции, установлению структурной схемы исследований функций. В качестве практического применения, помимо нахождения экстремумов функции, промежутков возрастания и убывания, рассматривались производные высоких порядков. Для большей наглядности задачи решались на основе физико-математических представлений функций с использованием конкретных примеров.

1.Базовые понятия дифференциального исчисления
1.1 Определение функции и дифференциальное исчисление
Стоит заметить, что определению функции было посвящено большое количество исследовательских работ. Прежде всего, само понятие функции было введено в 1692 г. Г.В.Лейбницем для характеристики разных отрезков, соединяющих точки некоторой кривой. Первое определение функции, которое уже не было связано с геометрическими представлениями, сформулировал Иоганн Бернулли (1667 - 1748) в 1718г. Позже, в 1748, несколько уточненное определение функции дал ученик И. Бернулли Леонард Эйлер (1707-1783).
Начиная с этого времени, становится постепенно ясным, что многие представления о функции весьма заужены, функцию следует рассматривать в широком смысле, так как не всегда оказывалось возможными описать функцию аналитически.
В 1834 г. выдающийся русский математик Н. И. Лобачевский (1792 - 1856) сформулировал определение функции, в основу которого была положена идея соответствия: "Общее понятие требует, чтобы функцией от х называть число, которое дается для каждого х и вместе с х постепенно меняется. Значение функции может быть задано или аналитическим выражением, или условием, которое подает средство испытания всех чисел и выбора одного из них; или, наконец, зависимость может существовать и оставаться неизвестной ".
Уже через три года немецкий математик Дирихле (1805 - 1859) сделал такое обобщение понятия функции: "y есть функция переменной x (на отрезке a ≤ x ≤ b), если каждому значению x соответствует вполне полное значение y, причем не важно, каким образом установлена эта соответствие - аналитической формулой, графиком, таблицей или даже просто словами ".
Исследования функции,Введение

новых определений, включая "дельта - функцию" Дирака, обобщенную функцию Соболева говорит о том, что представления о функциях постепенно развивались, углублялись.
Открытию основ дифференциального исчисления предшествовали Пьера Ферма предложившим способы нахождения наибольших и наименьших значений функций, проведения касательных к произвольным кривым. Ньютон и несколько позднее Лейбниц независимо друг от друга построили теорию дифференциального исчисления. Ньютон пришел к понятию производной, решая задачи о мгновенной скорости, а Лейбниц, - рассматривая геометрическую задачу о проведении касательной к кривой. Ньютон и Лейбниц исследовали проблему максимумов и минимумов функций. В частности, Лейбниц сформулировал теорему о достаточном условии роста и убывания функции на отрезке. Эйлер в работе "Дифференциальное исчисление" (1755г.) различал локальный экстремум и наибольшие и наименьшие значения функции на определенном отрезке. Он первый начал использовать греческую букву ∆ для обозначения приращения аргумента ∆X = X2 - X1 и приращения функции ∆Y = Y2 - Y1. Обозначения производной у' и f'(х) ввел французский математик Лагранж (1736 - 1813) (Герасимович, 1989).

1.2 Основные теоремы дифференциального исчисления
Прежде всего, рассмотрим достижения, к которым привели десятки и сотни лет исследований. К основным достижениям можно отнести полученные теоремы.
Теорема Ферма. Следуя представлениям теоремы Ферма пусть задана функция f(x) на отрезке a≤x≤b и в точке a≤x0≤bдостигает минимального или максимального значения. Если в точке a≤x0≤b существует производная, то f'x0=0.
Пусть x0<x<x0+ε, тогда 0<x-x0<x0+ε-x0. Для определенности рассмотрим максимум функции в точке a≤x0≤b, принимая во внимание, что x-x0>0, получим:
fx-fx0x-x0≤0
.
Если x0-ε<x<x0, то x-x0<0 и,
fx-fx0x-x0≥0

таким образом,
f'x0=0.
Теорема Ролля. Пусть функция f(x) является непрерывной на отрезке [a;b] и имеет производную в любой точке интервала (a;b). Если f(a) = f(b), то существует точка x ∈ (a;b) такая, что f'x0=0.
Доказательство

. Если функция f (x)≡const на [a;b], то в любой точке x ∈ (a;b) имеем f'x0=0.
Если функция fx≠const на [a;b], то по теореме Вейерштрасса существуют точки x0,x1 ∈ [a;b] такие, что fx0=maxa,bfx, fx0=mina,bfx, при этом fx0>fx1. Значит, либо fx0либо fx1 не совпадает с f(a) = f(b). Предположим для определенности, что fx0= f(a) = f(b). Тогда x0≠a, x0≠b, таким образом, x0 ∈ (a,b). Применяя теорему Ферма, получаем, что f'x0=0.
Теорема Лагранжа.
Пусть f(x) непрерывна на отрезке [a;b] и имеет производную в любой точке интервала (a;b). Тогда существует точка x0 ∈ (a,b) такая, что f(b)−f(a) = f'x0b-a
Пусть g(x) = (f(b) − f(a))x − (b − a)f(x). Эта функция непрерывна на [a;b], имеет производную в любой точке интервала (a;b) и g(b) = g(a) = f(b)a−f(a)b. По теореме Ролля существует точка x0 ∈ (a;b) такая, что g'x0=0. Но g'x= (f(b)−f(a))−(b−a) f'x0. Таким образом, (f(b)−f(a))−(b−a) f'x0= 0.
Эти теоремы справедливы и для функций нескольких переменных (Максимов, 2010, Влемисов, 2012)
2. Анализ формы функции средствами дифференциального исчисления
2.1 Возрастание и убывание функции
Важнейшим шагом в анализе функций является определение промежутков возрастания и убывания функции. Согласно классическим представлениям функция называется возрастающей на множестве x, если для любых значений аргумента из рассматриваемого множества справедливо неравенство:
f (x1) < f(x2), если x1 <x2.
Если же неравенство имеет вид:
f (x1) ≤ f(x2), при x1 <x2,
то функция f(x) называется неубывающей.
Относительно убывающей и невозрастающей функций знаки неравенства обратные.
Если функция f(x) имеет производную на заданном интервале от a до b и эта производная строго больше нуля, то функция f(x) возрастает на этом промежутке.
Например, рассмотрим произвольную функцию:
fx=4x3+15x2-18x+1
f'x=12x2+3x-18
f'x=6x+32x-1
Таким образом, корнями уравнения (при равенстве производной нулю) являются -3 и ½. Поскольку производная принимает положительные значения на интервале (-∞,-3) и на (1/2, ∞), то на этих интервалах функция возрастает. На интервале от (-3, ½) функция убывает.
Действительно, следуя, (Ефимова, 2003) рассмотрим рис.1, где изображена функция
fx=4x3+15x2-18x+1.

Рис.1 График функцииfx=4x3+15x2-18x+1
Анализ рис.1 показывает, что наблюдая график функции, можно без особого труда усмотреть точки роста функции. Так функция выглядит возрастающей на интервале строго до -3, а также при значениях аргумента больше ½.
Именно применение производной функции позволяет установить точные границы возрастания и убывания функции, а также амплитуду этого роста или падения в заданной точке.

2.2 Определение экстремумов функции
При анализе функции важнейшим шагом является определение особых точек — экстремумов функции, устанавливающих минимум или максимум функции при данном аргументе (Литвин, 2017, Ларин, 2012).
Из определения производной можно получить необходимое условие экстремума функции, которое заключается в том, что если дифференцируемая функция y=fx имеет экстремум функции в точке x0, то ее первая производная по x f'x0=0.
Действительно, рассмотрим поведение функции y=fx в окрестностях некоторой точки x0. Пусть точка x0 - точка максимума функции, тогда в окрестностях этой точки:
fx0>fx0+Δx,
fx0+Δx-fx0Δx<0, при положительном приращении аргумента и
fx0+Δx-fx0Δx>0, при отрицательном приращении аргумента.
Переходя к пределу, получим, что y'=0 если приращение аргумента меньше нуля и наоборот.
В качестве примера изменения производной рассмотрим следующую функцию: y=-x2+5
На рис. 2 показана функция y=-x2+5 , график касательной в точке x0 . Кроме точки 0 показана точка 1 – в окрестностях x0.


Рис. 2 функция y=-x2+5, график касательной в точке x0

Анализируя рис.2 можно заключить, что точка x0 является точкой максимума, в окрестностях которой функция имеет меньшие значения. При этом касательная к функции y=f(x) становится параллельной оси абсцисс только в точке x0. Это означает, что производная функции при переходе через точку x0 меняет знак с плюса на минус.
Важно заметить, что приведенные выше рассуждения не устанавливают строгой связи между равенством первой производной нулю и наличием в этой точке – максимума или минимума функции. Например, функция y=x3не имеет экстремума в точке x=0, хотя ее производная равна 3x2=0 в этой точке.
Помимо необходимого условия, которому должна удовлетворять рассматриваемая функция, существует так называемое достаточное условие, которое можно сформулировать в виде следующей теоремы:
Если непрерывная функция дифференцируема в некоторой окрестности точки и при переходе через нее слева первая производная меняет знак с плюса на минус или же с минуса на плюс, то эта точка есть точка максимума или минимума соответственно.
Таким образом, совместное рассмотрение двух составляющих, равенства нулю первой производной и смену знака производной с плюса на минус или же с минуса на плюс может служить в качестве достаточного условия экстремума.
Рассматривая смену знака производной при переходе черех критическую точку и учитывая физический смысл производной, который заключается в том, что производная описывает скорость протекания рассматриваемого процесса, для определения точек экстремума можно использовать вторую производную функции:
f''x=limΔx→0f'x0+Δx-f'x0Δx.
Исходя из того, что первая производная в точке принимает значение равное 0, получим:
f''x=limΔx→0f'x0+ΔxΔx.
Допустим, что вторая производная в точке x0 меньше 0. Тогда
f'x0+ΔxΔx<0 в достаточно малой окрестности рассматриваемой точки. Если Δx<0, то f'x0+Δx>0, а если Δx>0, то f'x0+Δx<0.
Например, рассмотрим функцию y=-x2+5. Вторая производная этой функции y''=-2 имеет постоянное отрицательное значение, следовательно, точка x=0 – это точка максимума функции. Таким образом, дополнительно к анализу поведения первой производной, можно рассматривать и другой достаточный признак экстремума функции – значение второй производной в точке.
2.3 Производные высоких порядков. Случай равенства нулю первой и второй производных
Рассмотренный мною сценарий, связанный с равенством нулю первой производной и принимающей положительные либо отрицательные значения второй производной не является единственно возможным критерием наличия максимума либо минимума функции. Рассмотрим случай произвольной функции с n количеством производных, когда как первая, вторая, так и n-1 производные равны нулю. С этой точки зрения можно записать:
f'x0=0,f''x0=0,fn-1x0=0,fnx0≠0.
Для определения роли производных высоких порядков разложим функцию f(x) в ряд Тейлора:
x-x02+...+fnx0n!x-x0nfx=fx0+f'x01!x-x0+f''x02!
Исходя из того, что первая, вторая, до n-1 включительно производные в рассматриваемом случае равны 0, можно получить:
x-x0nfx-fx0=fnx0n!
Введем дополнительный член в выражение в форме Пеано(Фихтенгольц, 2003).
x-x0nfx-fx0=fnx0+αn!
Анализ полученного выражения позволяет заключить, что знак приращения зависит от четности или нечетности параметра n.
При переходе от значений аргумента, меньших, чем x0 к значениям большим, чем x0 выражение x-x0n изменит знак на обратный. Учитывая, что знак fx-fx0=fnx0+αn!не меняется, то и знак разности изменится fx-fx0. Это позволяет заключить, что в силу того, что функция вблизи точки x0 принимает значения как меньшие, так и большие, чем fx0, то функция в точке x0 не может иметь экстремума.
Рассмотрим случай четных значений параметра n