Дисперсионный анализ экспериментальных данных

Введение
Актуальность. Дисперсионный анализ (ДA) представляет собой набор статистических методов, предназначенных для обработки экспериментальных данных, зависящих от большого количества одновременно действующих факторов. Целью анализа является оценка влияния факторов на результирующий признак и выявление наиболее значимых из них.
В качестве примера применения методов ДA можно привести классическую задачу сравнения урожайности нескольких сортов пшеницы, высеянных на участках земли с различным химическим составом, с применением различных типов удобрений. Методы ДA позволяют ответить на вопросы о зависимости урожайности от каждого из трех рассматриваемых факторов (сорт, земля, удобрение), о возможном взаимодействии факторов и на ряд других вопросов.
Существенным моментом теории ДA является представление регрессии отклика статистического эксперимента в виде линейной комбинации функций факторов с неизвестными коэффициентами.
В связи с вышесказанным можно с уверенностью утверждать, что изучение вопросов, которые касаются дисперсионного анализ экспериментальных данных, является весьма актуальным в настоящее время.
Цель данной работы заключается в изучении дисперсионного анализа экспериментальных данных. Для достижения поставленной цели были решены следующие задачи:
- изучен имеющийся материал по тематике исследования;
- рассмотрено понятие, факторы и сфера применения дисперсионного анализа;
- изучен дисперсионный анализ экспериментальных данных.
В ходе выполнения данных задач применялись такие методы исследования, как анализ, синтез, описание и обобщение.
В качестве объекта исследования выступает дисперсионный анализ, а предметом исследования является дисперсионный анализ экспериментальных данных.
1 Дисперсионный анализ: понятие, факторы, сфера применения.
Фундаментальная концепция дисперсионного анализа предложена Фишером в 1920 году. Возможно, более естественным был бы термин анализ суммы квадратов или анализ вариации, но в силу традиции употребляется термин дисперсионный анализ.
Итак, дисперсионный анализ основан на работах знаменитого математика Р.А. Фишера. Несмотря на достаточно солидный «возраст», данный метод до сих пор остается одним из основных при проведении биологических и сельскохозяйственных исследований. Идеи, положенные в основу дисперсионного анализа, широко используются во многих других методах математического анализа экспериментальных данных, а также при планировании биологических и сельскохозяйственных экспериментов.
Дисперсионный анализ позволяет:
- сравнивать две или несколько выборочных средних;
- одновременно изучать действие нескольких независимых факторов, при этом можно определить как эффект каждого фактора в изменчивости изучаемого признака, так и их взаимодействие;
- правильно планировать научный эксперимент [1].
Изменчивость живых организмов проявляется в виде разброса или рассеяния значений отдельных признаков в пределах, которые определяются степенью биологической выравненности материала и характером взаимосвязей с условиями среды. Признаки, изменяющиеся под воздействием тех или иных причин, называют результативными.
Факторы это любые воздействия или состояния, разнообразие которых может так или иначе отражаться на разнообразии результативного признака. Под статистическим влиянием факторов в дисперсионном анализе понимается отражение в разнообразии результативного признака того разнообразия изучаемых факторов, которое организовано в исследовании.
Под разнообразием будем понимать наличие неодинаковых значений каждого признака у разных особей, объединенных в группу. Разнообразие группы особей по изучаемому признаку может иметь разную степень, которая обычно измеряется показателями разнообразия (или изменчивости): лимитами, средним квадратическим отклонением, коэффициентом вариации. В дисперсионном анализе степень разнообразия индивидуальных и средних значений признака измеряется и сравнивается особыми способами, составляющими специфику этого общего метода.
Организация факторов заключается в том, что каждому изучаемому фактору придается несколько значений. В соответствии с этими значениями каждый фактор разбивается на несколько градаций; для каждой градации подбирается по принципу случайной выборки несколько особей, у которых впоследствии и измеряется величина результативного признака.
Для того чтобы выяснить степень и достоверность влияния изучаемых факторов, надо измерить и оценить ту часть общего разнообразия, которая вызывается этими факторами.
Факторы, влияющие на степень варьирования результативного признака, делятся на:
- регулируемые;
- случайные [1].
Регулируемые (систематические) факторы вызываются действием изучаемого в эксперименте фактора, который имеет в опыте несколько градаций

. Градация фактора - это степень его воздействия на результативный признак. В соответствии с градациями признака выделяется несколько вариантов опыта для сравнения. Поскольку эти факторы предварительно обусловлены, их называют регулируемыми в исследованиях, т.е. заданными, зависящими от организации опыта. Следовательно, регулируемые факторы – факторы, действие которых изучается в опыте, именно они и обусловливают различия между средними выборочными разных вариантов - межгрупповую (факториальную) дисперсию.
Случайные факторы определяются естественным варьированием всех признаков биологических объектов в природе. Это неконтролируемые в опыте факторы. Они оказывают случайное влияние на результативный признак, обусловливают экспериментальные ошибки и определяют внутри каждого варианта разброс (рассеяние) признака. Этот разброс носит название внутригрупповой (случайной) дисперсии.
Таким образом, относительная роль отдельных факторов в общей изменчивости результативного признака характеризуется дисперсией и может быть изучена с помощью дисперсионного анализа или анализа рассеяния
Дисперсионный анализ основан на сравнении межгрупповой и внутригрупповой дисперсий. Если межгрупповая дисперсия не превышает внутригрупповую, значит, различия между группами имеют случайный характер. Если межгрупповая дисперсия существенно выше, чем внутригрупповая, то между изучаемыми группами (вариантами) существуют статистически значимые различия, обусловленные действием изучаемого в опыте фактора.
Из этого следует, что при статистическом изучении результативного признака при помощи дисперсионного анализа следует определить его варьирование по вариантам, повторениям, остаточное варьирование внутри этих групп и общее варьирование результативного признака в опыте. В соответствии с этим различают три вида дисперсий:
- общую дисперсию результативного признака;
- межгрупповую, или частную, между выборками;
- внутригрупповую, остаточную [1].
Следовательно, дисперсионный анализ – это расчленение общей суммы квадратов отклонений и общего числа степеней свободы на части или компоненты, соответствующие структуре эксперимента, и оценка значимости действия и взаимодействия изучаемых факторов по F-критерию. В зависимости от числа одновременно исследуемых факторов различают двух-, трех-, четырехфакторный дисперсионный анализ.
При обработке полевых однофакторных статистических комплексов, состоящих из нескольких независимых вариантов, общая изменчивость результативного признака, измеряемая общей суммой квадратов (Сy), расчленяется на три компонента: варьирование между вариантами (выборками) – Сv, варьирование повторений (варианты связаны между собой общим контролируемым условием – наличием организованных повторений) - Сp и варьирование внутри вариантов Сz.. В общей форме изменчивость признака представлена следующим выражением
Сy = Сv +Сp + Сz. (1)
Общее число степеней свободы (N -1) также расчленяется на три части:
- степени свободы для вариантов (l – 1);
- степени свободы для повторений (n – 1);
- случайного варьирования (n – 1) × (l – 1).
Суммы квадратов отклонений, по данным полевого опыта – статистического комплекса с вариантами – l и повторениями – n, находят следующим образом. Сначала с помощью исходной таблицы определяют суммы по повторениям - ΣP , вариантам - ΣV и общую сумму всех наблюдений - ΣX.
Затем вычисляют следующие показатели:
- общее число наблюдений N = l × n;
- корректирующий фактор (поправку) Скор = (Σ X1)2 / N;
- общую сумму квадратов Cy = (Σ X1)2 – Cкор;
- сумму квадратов для повторений Cp = ΣP2 / (l –Cкор);
- сумму квадратов для вариантов Cv = ΣV2 / (n – 1);
- сумму квадратов для ошибки (остаток) Cz = Cy - Cp - Cv [1].
Полученные суммы квадратов Cv и Cz делят на соответствующие им степени свободы и получают два средних квадрата (дисперсии):
- вариантов Cv / l – 1;
- ошибки Cz / (n – 1)×(l – 1) [1].
2 Дисперсионный анализ экспериментальных данных
Дисперсионный анализ (ДА) служит для оценки значимости влияния отдельных факторов на характер процесса