Адаптивные и оптимальные системы управления

Введение

Что означают широко используемые в жизни такие понятия: оптимальный, оптимально и оптимизация? Оптимальный - значит наилучший. А может ли быть что-либо наилучшее во всех смыслах? К сожалению нет.
Например, каждый раз приходя в магазин, мы решаем оптимизационную задачу выбора определенного набора продуктов. Выбор осуществляется из ассортимента, предложенного магазином - вот они, ограничения. При выборе продуктов мы руководствуемся своим вкусом – это критерий, которому хочется удовлетворить по максимуму. Но есть и управляющее воздействие, это наш кошелёк, кстати, кошелёк не резиновый, на содержимое кошелька также наложено ограничение.
Трудно представить такую область современной инженерной деятельности, где бы ни возникали задачи оптимизационного характера. Например, задача определения наиболее эффективного режима работы различных технических систем, машин, механизмов, технологических процессов (ТП) и т.д. для того, чтобы сократить расход энергии, топлива, длительности ТП и т.п. Таким образом, возникает проблема создания соответствующих оптимальных регуляторов, позволяющих повысить точность и качество работы за счет улучшения управления этими машинами, механизмами, ТП непосредственно в процессе эксплуатации.
На практике задачи оптимизационного характера формулируются словесно, причём в терминах той отрасли, где они возникли. Но для решения задач оптимального управления, необходимо их математическая интерпретация, то есть математическое представление.
Постановка задачи оптимизации состоит из трех основных моментов:
- определение цели управления (то есть формирование критерия оптимизации);
- определение множества управляемых переменных, которыми можно варьировать для достижения поставленной цели;
- определение функций ограничений.
Как правило, множества управляемых переменных и ограничений довольно легко определить из условия нормального функционирования объекта управления (ОУ). Труднее сформулировать критерий оптимизации, но если это удастся сделать с учетом физической природы объекта управления и поставленной цели управления, то задачу оптимизации можно сформулировать, с математической точки зрения, следующим образом.
Требуется найти такое оптимальное управление, которое доставляло бы экстремум (минимум или максимум) оптимизационному критерию, с учетом выполнения налагаемых на объект управления ограничений.
Оптимальное управление – это наилучшее в некотором смысле управление, при котором критерий качества процесса управления принимает экстремальное значение. Если в системе реализуется оптимальное управление, то она называется оптимальной.
В данной работе будут рассмотрены вопросы, которые касаются определения оптимального управления для непрерывных систем при квадратичном оптимизирующем функционале и задач синтеза контура самонастройки, выбора критерия самонастройки и принципов построения контура самонастройки.
1 Понятие оптимального и адаптивного управления
Оптимальное управление - это задача проектирования системы, обеспечивающей для заданного объекта управления или процесса закон управления или управляющую последовательность воздействий, обеспечивающих максимум или минимум заданной совокупности критериев качества системы.
Для решения задачи оптимального управления строится математическая модель управляемого объекта или процесса, описывающая его поведение с течением времени под влиянием управляющих воздействий и собственного текущего состояния. Математическая модель для задачи оптимального управления включает в себя: формулировку цели управления, выраженную через критерий качества управления; определение дифференциальных или разностных уравнений, описывающих возможные способы движения объекта управления; определение ограничений на используемые ресурсы в виде уравнений или неравенств
Согласно сложившейся в последнее время точке зрения, оптимальное управление представляет собой определенный раздел теории экстремальных задач (теории оптимизации), посвященный исследованию и решению вопросов максимизации и минимизации функционалов на множествах функций специального вида. С другой стороны, - оптимальное управление тесно связано с выбором наиболее выгодных (оптимальных) режимов управления сложными объектами, которые описываются при помощи систем обыкновенных дифференциальных уравнений. Если первая точка зрения непосредственно согласуется с классификацией, принятой в «классической» матема- тике, то вторая - более прикладная, поскольку ориентирована на решение различного рада задач из экономики и техники. При изложении материала данного пособия предпочтение отдается именно второй точке зрения.
Адаптивное управление - совокупность методов теории управления, позволяющих синтезировать системы управления, которые имеют возможность изменять параметры регулятора или структуру регулятора в зависимости от изменения параметров объекта управления или внешних возмущений, действующих на объект управления. Подобные системы управления называются адаптивными.
По характеру изменений в управляющем устройстве адаптивные системы делят на две большие группы:
- самонастраивающиеся (изменяются только значения параметров регулятора)
- самоорганизующиеся (изменяется структура самого регулятора).
По способу изучения объекта системы делятся на поисковые и беспоисковые.
В первой группе особенно известны экстремальные системы, целью управления которых является поддержание системы в точке экстремума статических характеристик объекта. В таких системах для определения управляющих воздействий, обеспечивающих движение к экстремуму, к управляющему сигналу добавляется поисковый сигнал. Беспоисковые адаптивные системы управления по способу получения информации для подстройки параметров регулятора делятся на
- системы с эталонной моделью (ЭМ)
- системы с идентификатором, в литературе иногда называют, как системы с настраиваемой моделью (НМ) [1].


2 Определение оптимального управления для непрерывных систем при квадратичном оптимизирующем функционале
Рассмотрим задачу формирования оптимального алгоритма (закона) управления при сближении двух летательных аппаратов, один из которых пассивен и движется по известной (опорной) траектории. В качестве математической модели процесса сближения примем линеаризованные относительно опорной траектории уравнения относительного движения второго (активного) летательного аппарата


где х характеризует отклонение параметров движения двух аппаратов; 
u - вектор управляющего воздействия активного аппарата, например, компоненты ускорения, создаваемого двигательной установкой;
 А и В - матрицы частных производных правых частей нелинейных уравнений движения, получаемые в результате линеаризации нелинейных уравнений движения.
В общем случае матрицы А и В зависят от времени. Будем полагать, что возмущение | является белым шумом.
Критерий оптимальности зададим в виде


где  - положительно определенные матрицы.
Первое слагаемое (интегральное) в критерии характеризует качество процесса управления (через слагаемое  ) и энергетические затраты, необходимые для осуществления процесса сближения (через слагаемое  ), второе - эффект управления конечным состоянием или, другими словами, точность сближения.
Задача заключается в выборе закона управления u(х,t), обращающего критерий в минимум. Предполагается, конечно, что в любой момент вектор состояния х может быть измерен. Можно предложить два подхода к решению данной задачи.
Первый заключается в замене непрерывной задачи ее дискретным аналогом, решении полученной дискретной задачи и переходе снова к непрерывному случаю. Дискретными аналогами уравнения движения и критерия оптимальности в данном случае являются


Здесь введены следующие обозначения:


где I - единичная матрица;
  - случайный вектор с характеристиками.
Заметим, что из соотношений следует, что


Учитывая полученные ранее результаты в отношении линейной дискретной системы с квадратичным критерием, алгоритм оптимального управления для данной задачи можем представить в виде


причем


Матрица Λi, формирующая функцию будущих потерь


определяется с помощью рекуррентного соотношения


при условии ΛN+1=λ

. Наконец, параметр сi равен


Переходя в этих соотношениях к пределу при  , получим решение исходной непрерывной задачи в следующем виде: для функции будущих потерь


для алгоритма оптимального управления


где матрица коэффициентов обратной связи удовлетворяет соотношению


а матрица Λ и параметр с - дифференциальным уравнениям


с граничными условиями .
Как и в дискретном случае, алгоритм оптимального управления является линейным. Нетрудно установить, что он полностью совпадает с алгоритмом управления соответствующей детерминированной системой (при ). Таким образом, наличие аддитивного возмущения  в линейной системе не влияет на алгоритм оптимального управления при использовании квадратичного критерия, а сказывается лишь на величине функции будущих потерь R(x,t) и, следовательно, на общем значении критерия J.
Другими словами, синтез таких систем можно производить, не учитывая аддитивных случайных возмущений. Влияние их следует оценивать лишь при анализе работы замкнутой системы.
Второй подход к решению исходной задачи заключается в непосредственном применении стохастического уравнения Беллмана


Граничное условие при этом принимает вид


Найдем характеристики а, b марковского случайного процесса  в данном случае. Раскрывая пределы, получаем


Таким образом, вектор сноса случайного процесса представляет собой правую часть уравнения (5.79) при отсутствии возмущения, а матрица интенсивностей совпадает с матрицей интенсивностей белого шума и не зависит ни от х, ни от u.
С учетом найденных значений a(x,u) и b уравнение Беллмана принимает вид


откуда следует, что алгоритм оптимального управления связан с функцией R (x, t) соотношением


С учетом этого соотношения окончательно получаем следующее уравнение для функции 


Покажем, что решение этого уравнения с учетом требуемого граничного условия имеет вид квадратичной формы


Действительно, подставляя  в уравнение, получаем


Последнее уравнение обращается в тождество при любых х, если матрица Λ и скаляр с удовлетворяют системе обыкновенных дифференциальных уравнений


Для выполнения граничного условия достаточно потребовать, чтобы


Алгоритм оптимального управления с учетом найденной функции  принимает уже известный вид


где матрица коэффициентов обратной связи L равна [2, 3]


3 Задачи синтеза контура самонастройки
Простейшим классом самонастраивающихся систем являются экстремальные системы. Методы исследования этих систем можно разделить на две группы: для исследования движения к окрестности экстремума и для исследования периодических режимов вблизи экстремума.
Первая группа методов позволяет синтезировать управляющие воздействия для устойчивого и высококачественного движения к точке экстремума показателя качества. Методы базируются на идеях различных видов поиска экстремума (градиентных, наискорейшего спуска и т. д.).
Вторая группа методов позволяет изучить установившееся периодическое движение около точки экстремума (так называемое «рыскание»). Для исследования этого движения может применяться метод гармонического баланса.
Беспоисковые самонастраивающиеся системы отличаются от экстремальных и обычных систем наличием дополнительного контура самонастройки. В зависимости от количества перестраиваемых
параметров таких контуров может быть несколько. Перестройка параметров обычно производится в зависимости от переменных основного контура системы. В результате самонастраивающаяся система является принципиально нелинейной.
Необходимость самонастройки чаще всего вызывается нестационарностью характеристик объекта регулирования. Во многих случаях реализация алгоритмов самонастройки осуществляется с помощью ЦВМ.
Таким образом, беспоисковые самонастраивающиеся системы в общем случае являются многоконтурными нестационарными нелинейными дискретными системами. Так как перестраиваемые в процессе самонастройки параметры становятся дополнительными переменными, то порядок самонастраивающейся системы превосходит порядок основного контура.
Указанные особенности должны учитываться при анализе и синтезе самонастраивающихся систем. С позиций теории автоматического управления основными показателями работоспособности самонастраивающихся систем являются устойчивость и качество процесса управления, которые обеспечиваются свойствами двух контуров — основного и самонастройки.
Известно, что показатели устойчивости и качества (запас по фазе, запас по амплитуде, степень устойчивости и т. д.) зависят от характеристик объекта и внешних воздействий. В связи с этим можно говорить о частных показателях устойчивости и качества, определяемых при фиксированных характеристиках объекта, регулятора и внешних воздействий, и обобщенных показателях устойчивости и качества определяемых границами изменения частных показателей при изменении в определенных диапазонах характеристик объекта, регулятора и внешних воздействий.
Контур самонастройки обеспечивает поддержание заданных значений обобщенных показателей устойчивости и качества работы основного контура.
В настоящее время проектирование самонастраивающихся систем осуществляется, как правило, по следующей схеме. Вначале производится синтез регулятора основного контура по частным показателям устойчивости и качества работы в соответствии с методами, изложенными в предыдущих главах книги. Затем синтезируются алгоритмы работы контура самонастройки.
Последовательность и метод синтеза контура самонастройки определяются типом самонастраивающейся системы.
В системах с самонастройкой по динамическим характеристикам объекта процесс синтеза включает:
- выбор метода и разработку алгоритмов идентификации объекта;
- разработку алгоритмов получения управляющих сигналов контура самонастройки;
- выбор перестраиваемых параметров и разработку корректирующего фильтра для изменения характеристик основного контура по управляющим сигналам контур а самонастройки.
В системах с эталонной моделью перестройка параметров обычна осуществляется при сближении (в определенном смысле) выходных переменных основного контура и модели. Поэтому в работе этих систем этап идентификации отсутствует. Настройка параметров осуществляется в процессе минимизации той или иной функции от разности выходного сигнала объекта и эталонной модели.
В системах с настройкой по входному сигналу процесс синтеза состоит из тех же трех этапов, только в отличие от систем с настройкой по характеристикам объекта, на первом этапе производится выбор и разработка алгоритмов оценки входного сигнала.
При синтезе всех типов самонастраивающихся систем необходимо выбирать перестраиваемые параметры основного контура. Эффективность того или иного параметра для целей перестройки можно оценить с помощью функций или коэффициентов чувствительности показателя качества системы. Так как значения настраиваемых параметров являются выходными переменными контура самонастройки, то к процессу их регулирования предъявляются, как обычно, требования устойчивости и качества. Эти требования реализуются с помощью корректирующих устройств, включаемых в контур самонастройки [4].
Приведем пример решения подобной задачи. Для обеспечения интегрирования сигнала акселерометра без амплитудных и фазовых искажений на минимальной частоте качки (порядка 202 0,05 Гц) необходимо выбирать большие постоянные времени (100...120 с) апериодического и колебательного звеньев. В случае импульсного воздействия на такую систему, например удар волны по корпусу судна, в ней возникает переходный процесс большой амплитуды и длительности, во время которого погрешность интегрирования значительно превышает заданные пределы. Такие импульсные воздействия характерны для движения судна против волны или для малогабаритных судов. И в том, и в другом случае частота качки бывает близка к максимальной, и составляет 0,25...1 Гц. При таких значениях частоты качки для обеспечения интегрирования сигнала акселерометра без амплитудных и фазовых искажений можно существенно уменьшить постоянные времени апериодического и колебательного звеньев (до 6...10 с)