Сравнение по модулю и их приложения
Зарегистрируйся в два клика и получи неограниченный доступ к материалам,а также
промокод
на новый заказ в Автор24. Это бесплатно.
Введение
В действительности довольно часто приходится сталкиваться с целыми числами и задачами, связанными с ними. Одним из типов задач является сравнение двух целых чисел по модулю m. Слово «модуль» происходит от латинского modulus и означает «мера», «величина». Определение сравнения было сформулировано в книге К. Гаусса «Арифметические исследования», написанной в 1797 году. При этом первый раздел книги Гаусса так и называется: «О сравнении чисел вообще». В данной работе рассмотрена теория сравнения целых чисел. Целью данной работы является рассмотрение теории сравнений и изучение применения теории сравнений к некоторым разделам математике. Для достижения цели были поставлены следующие задачи: изучить учебную и научную литературу по тематике работы, подобрать и решить задачи, в которых возможно использовать теорию сравнения чисел. В первой главе изложены основные понятия и теоремы теории сравнений. Во второй главе рассмотрены решения задач по указанной тематике.
Полная и приведенная система вычетов
Если рассмотреть свойства сравнений 1) – 3) из пункта 1.1, то можно сказать, что множество целых чисел Z состоит из объединения непересекающихся подмножеств, каждое из которых состоит из чисел, попарно сравнимых между собой. Данные подмножества назыв...
Открыть главуСравнения произвольной степени по простому модулю
Перейдем к рассмотрению вопроса о числе решений сравнения n-й степени по простому модулю. Теорема 3. Сравнение anxn+…+a1x+a0≡0 mod p (3) степени n по простому модулю p имеет не более n решений. Доказательство. Доказательство проведем методом матема...
Открыть главуКитайская теорема об остатках
x≡a1 mod m1,x≡a2 mod m2,…x≡ak mod mk, (10) где mi0, ai – заданные целые числа. Решение такой системы в одном важном частном случае может быть получено достаточно легко. Следующее утверждение было известно в Китае около двух тысячелетий тому назад и с...
Открыть главуСравнения любой степени по составному модулю
Сначала рассмотрим случай, когда модуль сравнения есть степень простого числа, то есть m=pk, k≥2. Если fx – многочлен с целыми коэффициентами и целое число a удовлетворяет сравнению fx≡0 mod pk, то pk нацело делит fa. Но в этом случае и p нацело дели...
Открыть главуЗаключение
Теория сравнения целых чисел относится к более общей теории чисел, которая сама относится к фундаментальным разделам математики. Вместе с тем ряд ее задач имеет самое непосредственное отношение е практической деятельности. Так, например, благодаря в первую очередь запросам криптографии исследования алгоритмических вопросов теории чисел переживают в настоящий момент период плодотворного развития. Криптографические потребности стимулировали исследования классических задач теории чисел, в ряде случае привели к их решению, а также стали источниками постановки новых фундаментальных проблем. В работе были рассмотрены основные понятия теории сравнения целых чисел. А также были решены 21 задача по различным тематикам. В результате поставленные в начале работы задачи были выполнены, а цель работы – достигнута.
Список литературы
Виноградов О.М. Основы теории чисел. – М.: Издательство «Лань», 2009. – 176 с. Карацуба А.А. Основы аналитической теории чисел. – 2-е изд., испр. – М.: Издательство Едиториал УРСС, 2004. – 184 с. Коблиц Н. Курс теории чисел и криптографии. – М.: Научное изд-во ТВП, 2001. –254 с. Кудреватов Г.А. Сборник задач по теории чисел. – М.: Просвещение, 1970. – 128 с. Куликов Л.Я. Алгебра и теория чисел: Учеб. пособие для педагогических институтов. – М.: Высш. школа, 1979. – 559 с. Нестеренко Ю.В. Теория чисел: Учебник для вузов. – М.: Академия, 2008. – 273 с. Проскуряков И.В. Сборник задач по линейной алгебре. – М.: Наука, 1974. – 288 с. Сизый С.В. Лекции по теории чисел: Учеб. пособие для студентов вузов. – 2-е изд., испр. – М.: ФИЗМАТЛИТ, 2008. – 192 с. Фаддеев Д.К. Лекции по алгебре. – М.: Издательство «Лань», 2007. – 416 с. Шклярский Д.О., Ченцов Н.Н., Яглом И.М. Избранные задачи и теоремы элементарной математики. Арифметика. Алгебра. – М.: ФИЗМАТЛИТ, 2016. – 604 с.
