Симметрия графиков функций

1.1.1. Анализ школьных учебников по теме «Симметрия графиков функций»
Впервые с симметрией в алгебре обучающиеся сталкиваются при построении графиков функции. В данном случае симметрия зависит от того, какой является функция: четной или нечетной.
Рассмотрим, каким образом в школьных учебниках по алгебре происходит знакомство со свойством симметричности графиков функций.
В учебнике Макарычева по алгебре для 9-го класса нет четкого определения четности и нечетности функции. В 3 параграфе «Квадратичная функция и её график» автор говорит о свойстве симметричности графика функции относительно оси y. А в 4 параграфе «Степенная функция. Корень n-й степени», когда описываются свойства функции y=xn, употребляются понятия «четная» и «нечетная функция», раскрывается их смысл: «Противоположным значениям аргумента соответствуют равные значения функции, т.е. функция является четной. Это следует из того, что при четном n равенство (-x)n=xn верно при любых значениях x» [18] и «Противоположным значениям аргумента соответствуют противоположные значения функции, т.е. функция является нечетной. Это следует из того, что при нечетном n для любого x верно равенство (-x)n=-xn» [18].
Колягин Ю.М. в учебнике «Алгебра и начала математического анализа» для 10 класса в 9 параграфе вводит точное определение четной и нечетной функции: «Функцию y(x) называют четной, если y-x=y(x) для любого x из области определения этой функции. Функцию называют нечетной, если y-x=-y(x) для любого x из области определения этой функции» [13], после каждого определения приводит примеры. А также в описании свойств автор указывает симметричность графика в зависимости от данного свойства, т.е. если функция четная, то график симметричен относительно оси ординат, и если функция нечетная, то график симметричен относительно начала координат.
В учебнике Мордковича для 9 класса по алгебре выделен отдельный параграф для изучения четной и нечетной функции. В данном параграфе автор вводит четкие определения этих понятий: «Функцию y=f(x), x∈X называют четной, если для любого значения x из множества X выполняется равенство f-x=f(x). Функцию y=f(x), x∈X называют нечетной, если для любого значения x из множества X выполняется равенство f-x=-f(x)» [23]. Также даны примеры. Далее вводятся понятия симметричных множеств: «Если числовое множество X вместе с каждым своим элементом x содержит и противоположный элемент -x, то X называют симметричным множеством» [23]. После этого автор приводит примеры, и говорит, что если функция является четной или нечетной, то ее область определения является симметричным множеством. Разобрав пример на применение полученных знаний, автор переходит к рассмотрению геометрического смысла свойства четности и свойства нечетности функции. Он делает выводы, что график четной функции симметричен относительно оси y, а нечетной – относительно начала координат, и говорит о справедливости обратных утверждений.
1.1.2. Исследование графиков функций на симметричность
Введем необходимые определения.
Функция y=f(x) называется четной, если при любых значениях x, принадлежащих области определения D(f), верно равенство f-x=f(x).
Функция y=f(x) называется нечетной, если при любых значениях x, принадлежащих области определения D(f), верно равенство f-x=-f(x).
Рассмотрим степенную функцию y=xn, где n- целое число. Если n – четное число, то и функция является четной, если n – нечетное число, то и функция является нечетной. Рассмотрим примеры.
Пример 1. Доказать, что функция y=x4 – четная [23].
Решение. fx=x4, f-x=(-x)4, но, как мы знаем, любое число в четной степени будет неотрицательным, то (-x)4=x4. А это значит, что для любого значения x верно равенство f-x=f(x), откуда следует, что функция является четной.
Пример 2. Доказать, что функция y=x3 – нечетная [23].
Решение. fx=x3, f-x=(-x)3. В свою очередь, (-x)3=-x3. А это значит, что для любого значения x верно равенство f-x=-f(x), откуда следует, что функция является нечетной.
Аналогично доказываются свойства четности или нечетности и других функций вида y=xn.
Но существуют случаи, когда функции не являются ни четными, ни нечетными. Например, y=2x+3. Докажем это: fx=2x+3, возьмем любое значение x, например, x=1, тогда f1=5; f-x=2(-x)+3, -x=-1, тогда f-1=1. Не сложно заметить, что -fx=-(2x+3), т.е. -f1=-5. Получаем, f-x≠fx и f-x≠-fx. А это значит, что данная функция не обладает свойствами четности и нечетности.
Вывод: функция может быть четной, нечетной, а может не обладать свойствами четности и нечетности.
Числовое множество X называется симметричным множеством, если для каждого его значения x оно содержит и противоположное ему значение -x. Например, -7;7, -3;3,(-∞; +∞) – симметричные множества, а -3;8,-2;5, -8;4, (-∞;3) – несимметричные множества.
«Если функция y=f(x) – четная или нечетная, то ее область определения D(f) – симметричное множество» [23]. Если область определения функции не является симметричным множеством, то такая функция не обладает свойствами четности и нечетности.
Теперь рассмотрим геометрический смысл свойства четности и свойства нечетности функции.
Если функция четная, т.е. f-x=f(x), то получается, что абсциссы являются противоположными числами, а ординаты при этом одинаковы. Это значит, что график будет симметричен относительно оси ординат (рис. 1).
А если функция нечетная, т.е. f-x=-f(x), то абсциссы являются противоположными числами, и ординаты также являются противоположными числами. Это значит, что график будет симметричен относительно начала координат (рис. 2).
Рис. 1.
Рис. 2.
Вывод:
если функция y=f(x) – четная, то график симметричен относительно оси ординат;
если функция y=f(x) – нечетная, то график симметричен относительно начала координат.
Также верны и обратные утверждения:
если график функции симметричен относительно оси y, то функция – четная;
если график симметричен относительно начала координат, то функция – нечетная.
Кроме того можно заметить, что в случае нечетной функции график либо убывает, либо возрастает на всей области определения. Когда функция четная, одна часть графика возрастает, а симметричная ей – убывает.
Ю.Н. Макарычев в учебнике по алгебре для 9 класса вводит следующее определение возрастающей и убывающей функции: «Функция называется возрастающей в некотором промежутке, если большему значению аргумента из этого промежутка соответствует большее значение функции; функция называется убывающей в некотором промежутке, если большему значению аргумента из этого промежутка соответствует меньшее значение функции» [18].
Используя симметрию, строятся графики функций и уравнений вида
y=fx, y =f x, y=fx, y=|fx|.
Например, построим график функции y=|x-4|.
Рассмотрим вначале функцию y=x-4 и построим для нее график.
Данная функция – линейная, графиком является прямая (рис. 3).
Рис. 3
Рис. 4
Для того, чтобы построить график модуля, необходимо часть графика, лежащего ниже оси абсцисс симметрично отобразить относительно этой оси. Данное действие объясняется тем, что модуль отрицательного числа – число положительное. Следовательно, при тех же значениях x значения y в функции модуля будут противоположны значениям обычной линейной функции.
Рассмотрим симметрию графиков основных видов функций и их некоторые свойства, изучаемых в школьном курсе алгебры (таблица 1).
Таблица 1. Свойства графиков функций
Функция График Свойства
y=x
Рис. 3. Прямая 1. D(f) – множество всех действительных чисел.
2. E(f) – множество всех действительных чисел.
3. Функция нечетная, график симметричен относительно начала координат.
4. Промежутки знакопостоянства: y0 при x0, y=0 при x=0, y0 при x0.
5. Возрастает на всей области определения (при x∈(-∞; +∞)).
y=x2
Рис.4. Квадратичная парабола 1. D(f) – множество всех действительных чисел.
2. E(f) – множество всех неотрицательных чисел, т.е. y≥0.
3. Функция четная, график симметричен относительно Оy.
4. Промежутки знакопостоянства: y0 при x≠0, y=0 при x=0.
5. Убывает при x∈(-∞;0], возрастает при x∈[0; +∞).
y=x3
Рис. 5. Кубическая парабола 1. D(f) – множество всех действительных чисел.
2. E(f) – множество всех действительных чисел.
3. Функция нечетная, график симметричен относительно начала координат.
4. Промежутки знакопостоянства: y0 при x0, y=0 при x=0, y0 при x0.
5. Возрастает на всей области определения (при x∈(-∞; +∞)).
y=1x
Рис. 6. Гипербола 1. D(f): x∈-∞;0∪(0; +∞).
2. E(f): y∈-∞;0∪(0; +∞).
3. Функция нечетная, график симметричен относительно начала координат.
4. Промежутки знакопостоянства: y0 при x0, y0 при x0.
5. Убывает на всей области определения.
y=1x2
Рис. 7. 1. D(f): x∈-∞;0∪(0; +∞).
2. E(f): y0.
3. Функция четная, график симметричен относительно Оy.
4. Промежутки знакопостоянства: y0 при x≠0.
5

. Убывает при x∈(0; +∞), возрастает при x∈(-∞;0).
y=x
Рис. 8. 1. D(f): x≥0
2. E(f): y≥0.
3. Функция не обладает свойствами четности и нечетности.
4. Промежутки знакопостоянства: y0 при x0, y=0 при x=0.
5. Возрастает при x∈[0; +∞).
y=3x
Рис. 9. 1. D(f) – множество всех действительных чисел.
2. E(f) – множество всех действительных чисел.
3. Функция нечетная, график симметричен относительно начала координат.
4. Промежутки знакопостоянства: y0 при x0, y0 при x0, y=0 при x=0.
5. Возрастает на всей области определения.
y=|x|
Рис. 10. 1. D(f) – множество всех действительных чисел.
2. E(f) – множество всех неотрицательных чисел, т.е. y≥0.
3. Функция четная, график симметричен относительно Оy.
4. Промежутки знакопостоянства: y0 при x≠0, y=0 при x=0.
5. Убывает при x∈(-∞;0], возрастает при x∈[0; +∞).
Заметим, что для построения графиков четной и нечетной функций достаточно провести исследование свойств функции лишь на одной половине области определения, а дальше, если функция четная, то воспользоваться осевой симметрией, а если нечетная – центральной.
Рассмотрим симметричные графики некоторых сложных функций:
1. y=14x2-x-2.
Областью определения данной функции является множество всех действительных чисел.
Исследуем функцию на четность:
fx=14x2-x-2, f(-x)= 14(-x)2--x-2. Так как (-x)2=x2, а -x=x, то f-x=f(x). Значит, функция четная, следовательно, график симметричен относительно оси ординат.
Графиком функции является парабола, ветви которой направлены вверх, следовательно, вершина параболы будет являться наименьшим значением данной функции.
Вычислим координаты вершины параболы:
m=-b2a=2; n=-3 →(2;-3).
Найдем координаты точек графика при x≥0 (таблица 2) и воспользуемся осевой симметрией, чтобы построить вторую часть графика (рис. 11).
Таблица 2. Таблица значений функции
x 0 1 2 3 4 5 6
y -2 -2,75 -3 -2,75 -2 -0,75 -1
Так как график симметричен относительно оси ординат, то при отрицательных значениях переменной x значения функции будут прежними. Построим график и выпишем основные свойства полученного графика функции.
Рис. 11 Свойства графика функции:
1. D(f) – множество всех действительных чисел.
2. E(f): y∈(-3; +∞).
3. Функция четная, график симметричен относительно Оy.
4. Промежутки знакопостоянства: y0 при x∈-∞; -5,45∪(5,45; +∞), y=0 при x=-5,45;5,45, y0 при x∈(-5,45;5,45).
5. Убывает при x∈-∞;-2∪[0;2], возрастает при x∈-2; 0∪[2; +∞).
2. y=x+1x .
Областью определения данной функции являются все действительные числа, кроме нуля.
Исследуем функцию на четность:
fx=x+1x, f-x=-x+1-x=-x+1x=-f(x). Значит, функция нечетная, график симметричен относительно начала координат.
Графиком данной функции является гипербола. Асимптотами являются графики функций x=0 и y=x.
Составим таблицу значений функции при x0 (таблица 3) и воспользуемся центральной симметрией, чтобы построить вторую часть графика (рис. 12).
Таблица 3. Таблица значений функции
x 1 2 3 4 5 6
y 2 2,5 3,33 4,25 5,2 6,17
Рис. 12. Свойства функции:
1. D(f): x∈-∞;0∪(0; +∞).
2. E(f): y∈-∞;0∪(0; +∞).
3. Функция нечетная, график симметричен относительно начала координат.
4. Промежутки знакопостоянства: y0 при x0, y0 при x0.
5. Убывает при x∈-1;0∪(0;1], возрастает при x∈-∞;1∪[1; +∞).
1.2. Симметрические многочлены
1.2.1. Анализ школьных учебников по теме «Симметрические многочлены»
Рассмотрим, каким образом представлена теория симметрии в основных комплектах школьных учебников по алгебре таких авторов, как Виленкин Н.Я., Мордкович А.Г., Башмаков М.И., Колягин Ю.М., Дорофеев Г.В. Проанализировав учебные пособия, мы выяснили, что для обычных классов общеобразовательной школы в программе по математике не предусмотрено введение понятия симметрических многочленов, но в программе для классов с углубленным изучением математики данный вопрос рассматривается.
Учебник Виленкина Н.Я. для 11 класса «Алгебра и начала анализа» с углубленным уровнем изучения математики затрагивает теорию симметрических многочленов и ее применения, а также системы симметрических уравнений. После того, как было введено понятие многочлена от нескольких переменных, автором вводится понятие «симметрический многочлен» сначала на примере многочлена от 2-х переменных. После этого дается точное определение «Многочлен F(x1,…,xn) называется симметрическим, если при любой перестановке входящих в него букв получается тождественно равный ему многочлен» [6]. Далее предлагается общий метод получения данных многочленов: «Выражение t+x1t+x2∙…∙(t+xn) с любой перестановкой букв x1,…,xn переходит в выражение, которое тождественно равно ему (отличающееся от исходного только порядком следования множителей). Поэтому при раскрытии скобок коэффициенты со степенями t, будут симметрическими многочленами от переменных «x1,…,xn»». Помимо этого, вводятся понятия основных симметрических многочленов и степенных сумм. Проведено рассмотрение основной теоремы о симметрических многочленах с доказательством, которое осуществляется при помощи метода математической индукции посредством введения вспомогательной теоремы: «Любую степенная сумма sk=xk+yk может быть представлена в виде многочлена от σ1=x+y и σ2=xy» [6]. Также приводится доказательство теоремы для случая, когда n=2.
После этого автор возвращается к понятию «симметрический многочлен» в процессе изучения темы «Системы уравнений и неравенств» в пункте «Метод замены переменных. Системы симметрических уравнений». Данный пункт обозначен звездочкой, а это указывает на то, что излагаемые материалы несколько больше по объемам, нежели это предусматривает программа углубленного изучения математики. Здесь приводятся примеры решения систем симметрических уравнений и использование теории симметрических многочленов в целях решения иррациональных уравнений.
К каждому пункту предлагаются задания на применение теории симметрии для разложения многочленов на множители, решению уравнений 4 степени, решению систем уравнений.
В учебнике Мордковича А.Г. «Алгебра» для 9 класса с углубленным изучением математики вводится сначала понятие «симметрические выражения»: «Выражение p(x,y) называется симметрическим, если оно сохраняет свой вид при элементарной замене x на y, а y на x» [22]. Затем на основе данного определения вводятся понятия «симметрическое уравнение», «основные симметрические многочлены» и неявная формулировка основной теоремы о симметрических многочленах (без доказательства). И в итоге формулируется определение системы симметрических многочленов с 2-мя неизвестными и идеи решения.
Также в 11 классе А.Г. Мордкович рассматривает теорию симметрических выражений при изучении тем: «Многочлены», «Решение уравнений высших степеней и их систем». Автор даёт следующее определение симметрического многочлена: «Многочлен р(х; у) называется симметрическим, если он сохраняет свой вид при одновременной замене x на y, а y на x» [24].
Башмаков М.И. в учебнике «Алгебра и начала анализа» для 10-11 классов общеобразовательных учреждений [3] в шестой главе под названием «Уравнения и неравенства» в отдельном пункте проводит рассмотрение систем симметрических уравнений. Четкая формулировка определения симметрической системы. Основой решения симметрических систем уравнений вида x+y=αxy=β является теорема, обратная к теореме Виета. Чтобы найти корни такой системы, требуется нахождение корней уравнения t2-αt+β=0. «Решение других систем основано на том, что любое симметричное относительно x и y выражение может быть выражено через новые переменные u=х + y и v=xy» [3].
Учебник Колягина Ю.М. «Алгебра и начала математического анализа» для 10 класса базового и профильного уровней [13] рассматривает данную теорию в главе «Многочлены. Алгебраические уравнения». В отдельно выделенном на данную тему параграфе вводится понятие «симметрического многочлена»: «Многочлен p(x1,x2,…,xn) от n переменных называется симметрическим, если он остается неизменным при любой перестановке переменных» [13]. При этом перед тем, как ввести понятие, автор ставит перед обучающимся проблемную задачу: не решая заданного уравнения, составить новое квадратное уравнение, корни которого будут удовлетворять поставленным условиям. Таким образом, он показывает свойство симметричности и затем знакомит с симметрическими многочленами. Разбор решения симметрических уравнений, а также систем приводится на конкретных примерах, а основой их является применение теоремы Виета.
Учебник Дорофеева Г.В. «Алгебра и начала анализа» (10 класс) для общеобразовательных учреждений [9] содержит подробное изложение понятия симметрического многочлена. Формулировка определения дается после приведения определенных примеров и для n переменных: «многочлен от нескольких переменных называется симметрическим, когда не происходит его изменения при перенумерации переменных»