Симметрические системы уравнений

В ряде случае приходится решать системы уравнений с симметрическим вхождением переменных, слагаемых, сомножителей. Системы с таким свойством называют симметрическими [26].
Обычно для решения систем высших степеней применяют метод исключения, так как он является наиболее общим изо всех способов. Вообще говоря, для любой системы, состоящей из двух алгебраических уравнений с двумя неизвестными, можно, исключая одно неизвестное, получить уравнение относительно второго неизвестного. Однако часто бывает, что такое преобразование приводит к уравнению еще большей степени. В связи с этим недостатком при решении систем уравнений высших степеней метод исключения используют в школе реже и пытаются найти какой-либо искусственный прием [14].
Метод симметрических многочленов применим к большинству систем, с которыми сталкивается школьник, но всё же не ко всем, поэтому он не столь универсален, как метод исключения неизвестных, однако в отличие от него приводит к понижению степени, а не к повышению [5].
Данный метод основан на упрощении системы посредством введения новых неизвестных. Это возможно в том случае, когда заданная система симметрична, т.е. имеет вид
Px,y=0;Qx,y=0,
где Px,y и Qx,y – симметрические многочлены относительно x и y [4].
Теорема

. Пусть σ1 и σ2 – два произвольных числа. Квадратное уравнение z2-σ1z+σ2=0 (1) и система уравнений x+y=σ1xy=σ2 (2) связаны следующим образом: если z1, z2 – корни квадратного уравнения (1), то система (2) имеет два решения: x1=z1,y1=z2 и x2=z2,y2=z1 и других решений не имеет; обратно, если x=a, y=b – решение системы (2), то числа a и b являются корнями квадратного уравнения (1) [1].
Рассмотрим пример.
Необходимо решить систему x+y+xy=23;x2+xy+y2=49.
Заметим, что левые части каждого уравнения являются симметрическими многочленами, в которые переменные x и y входят одинаковым образом. Тогда введем новые переменные σ1=x+y, σ2=xy.
Выполним преобразование левой части второго уравнения
x2+xy+y2=x2+2xy+y2-xy=x+y2-xy.
Подставив новые переменные, система примет вид:
σ1+σ2=23;σ12-σ2=49.
Если мы сложим эти уравнения, то получим квадратное уравнение σ12+σ1-72=0 с корнями σ11=8, σ12=-9. Тогда σ21=15, σ22=32.
Теперь возвращаемся к замене, нам остается решить следующие системы:
x+y=8;xy=15 и x+y=-9;xy=32.
Решениями системы x+y=8,xy=15 являются x1=3;y1=5 и x2=5;y2=3.
Система x+y=-9,xy=32 действительных решений не имеет.
Ответ: 3;5, (5;3).
Мы видим, что использование симметрических многочленов позволяет перейти к равносильным системам второй степени, которые большинство учеников решают с успехом.
Рассмотрим пример с более высокой степенью.
x3y+xy3=10;x2+y2=5.
Нетрудно увидеть, что данная система также является симметрической