Симметрические многочлены от двух переменных

Рассмотрим следующие уравнения:
x2+xy+y2=4; x2y+xy2=a3; x2-xy+y2=7;
8x3+y3=65; x2+1y2+1=10; x+yxy-1=3.
Что их объединяет? Все эти уравнения имеют одно общее свойство – их левые части являются такими многочленами, которые содержат переменные x и y одинаковым образом, и если мы поменяем их местами, то ничего не изменится.
Многочлен f(x;y) называется симметрическим, если при замене x на y и y на x он не изменяется [5].
Многочлены x2y+y2x, x4+y4, x+y2(1-xy) – симметрические, а такие многочлены, как x2-y2, x3+3y3, (x-y)(x+y) и т.д., не являются симметрическими. Возьмем, например, многочлен x3-3y2. При замене x на y, а y на x он превращается в многочлен y3-3x2, который не совпадает с первоначальным [5].
Ю. Н. Макарычев, К. И. Нешков дают такое определение симметрических выражений: «Выражение с двумя переменными называется симметрическим относительно этих переменных, если при перестановке этих переменных получается тождественно равное ему выражение» [19].
Вспомним правило, которое проходят еще в начальных классах: от перестановки мест слагаемых сумма не меняется. А это означает, что равенство x+y=y+x верно при любых значениях переменных, следовательно, x+y является симметрическим многочленом

. Также мы знаем о законе коммутативности: xy=yx, из которого следует, что и xy является симметрическим многочленом.
Симметрические многочлены x + y и xy являются самыми простыми. Их обычно называют элементарными симметрическими многочленами от x и y и используют для них специальные обозначения: σ1=x + y , σ2=xy [5].
Кроме таких многочленов часто встречаются степенные суммы. Например, x2+y2, x3+y3,… ,xn+yn,… Они также могут быть представлены в виде многочлена от σ1 и σ2 (приложение A). Такие суммы вида xn+yn принято обозначать sn. Например,
s1=x+y;
s2=x2+y2;
s3=x3+y3;
………
sn=xn+yn.
Очевидно, что s1=x+y=σ1. Выразим еще три степенные суммы:
s2=x2+y2=x+y2-2xy=σ12-2σ2;
s3=x3+y3=x+yx2-xy+y2=x+yx+y2-3xy==σ1σ12-3σ2;
s4=x4+y4=x2+y22-2x2y2=σ12-2σ22-2σ22.
Возьмем такой пример многочлена: x3y+xy3, и выразим его через σ1 и σ2. Имеем x3y+xy3=xyx2+y2=σ2σ12-2σ2=σ12σ2-2σ22. И какой бы мы симметрический многочлен ни взяли, его всегда можно преобразовать и представить через σ1 и σ2.
Теорема. Любой симметрический многочлен от x и y может быть представлен в виде многочлена от σ 1= x + y и σ2 = xy [5].
Доказательство.
1) Для начала докажем, что любую степенную сумму sn=xn+yn можно представить в виде многочлена от σ1 и σ2.
Возьмем сумму sk-1=xk-1+yk-1