Равномерная сходимость и свойста несобственных интегралов

Введение

Если функция не ограничена на отрезке, то она не интегрируема на нем по Риману. С помощью предельного перехода можно обобщить понятие интеграла на случай, когда функция внутри промежутка интегрирования имеет особые точки, или когда один из пределов бесконечный. Такие интегралы называются несобственными. Найти несобственный интеграл – это значит найти его предел, или доказать, что интеграл расходится. При рассмотрении несобственных интегралов ключевым понятием является его сходимость. Для исследования сходимости в математическом анализе используют признаки и критерии сходимости, такие, как критерий Коши, признак Вейерштрасса, признаки Дирихле и Абеля. В силу свойств предела и определения несобственного интеграла, как предела обычного интеграла Римана, на несобственные интегралы переносятся многие свойства определенного интеграла, например, возможность вычисления несобственного интеграла по формуле Ньютона-Лейбница. В данной курсовой работе рассмотрены понятия несобственного интеграла I и II рода, исследована сходимость несобственных интегралов и их свойства, а также рассмотрены интегралы, зависящие от параметра, и равномерная сходимость этих интегралов по параметру. Определение несобственных интегралов Интеграл Римана определяется для ограниченных на отрезке функций. Однако понятие интеграла можно обобщить на случай бесконечных промежутков и на случай, когда функция имеет разрыв. В таком случае интегралы называются несобственными. Интеграл называют несобственным, если выполняется хотя бы одно из условий: Область интегрирования является бесконечной, т. е. имеет бесконечность на левой границе, на правой или на обеих. Функция fx, стоящая под знаком интеграла, является неограниченной в окрестности некоторых точек области интегрирования. В первом случае интеграл называют несобственным интегралом I рода, во втором – II рода. Рассмотрим несобственные интегралы I рода, которые можно записать в виде I=a+∞fxdx. Этот интеграл имеет бесконечный верхний предел. Пусть fx непрерывна на промежутке a,+∞, fx0. Рис. 1 Интеграл равен площади криволинейной трапеции под графиком (рис. 1). Эта криволинейная трапеция не ограничена справа, однако площадь бесконечной трапеции может равняться конечному числу: a+∞fxdx=A, A=const. В этом случае говорят, что несобственный интеграл I сходится. В противном случае, если площадь трапеции бесконечна, интеграл расходится. Рассмотрим несобственный интеграл на бесконечном промежутке. Пусть подынтегральная функция имеет вид fx=11+x2. Эта функция непрерывна на промежутке 0,ξ при любом ξ≥0, поэтому существует интеграл Jξ=0ξdx1+x2=arctg ξ. Тогда предел limξ→∞Jξ=limξ→∞arctg ξ=π2. Тогда для несобственного интеграла с бесконечным пределом получим: a+∞dx1+x2=π2. Определение. Пусть fx определена при x≥a, интегрируема на a,ξ при ξ≥a. Тогда интеграл a+∞fxdx называют несобственным интегралом от функции fx на a,+∞. Если существует конечный предел limξ→+∞aξfxdx=A, то говорят, что интеграл сходится и равен числу A. Таким образом, несобственный интеграл можно записать как: a+∞fxdx=limξ→+∞aξfxdx. Если конечного предела не существует, то говорят, что интеграл расходится. Для промежутка -∞,a несобственный интеграл записывается аналогично: -∞afxdx=limξ→-∞ξafxdx. Для промежутка -∞,+∞ несобственный интеграл определяется как: -∞+∞fxdx=limξ→-∞η→ +∞ξηfxdx. Этот интеграл является сходящимся, если существует конечный предел. Интеграл на конечном промежутке. Рассмотрим функцию fx=11-x. Эта функция неограниченна при x=1, так как знаменатель обращается в нуль при x=1. Несобственный интеграл на промежутке 0;1: 0111-xdx. Запишем интеграл с переменным верхним пределом ξ: Jξ=0ξ11-xdx=-21-x0ξ=21-1-ξ. Найдем предел: limξ→1-0Jξ=2. Значит, данный несобственный интеграл будет являться сходящимся, и для него можно записать: 0ξ11-xdx=2. Пример 1. Вычислим несобственный интеграл или установим его расходимость 1+∞dxx. Здесь подынтегральная функция fx=1x непрерывна на полуинтервале 1,+∞, значит, можно вычислить предел: 1+∞dxx=limb→+∞lnx1b=limb→+∞lnb-ln1=+∞-0=+∞. Рис. 2 Предел равен бесконечности, поэтому интеграл расходится, и площадь криволинейной трапеции бесконечна (рис. 2).