Открытие интегральных уравнений

Теория интегральных уравнений берет начало из прикладных задач математической физики, механики, геометрии. В историческом развитии теории выделяют три этапа. На первом этапе рассматриваются интегральные уравнения частных видов, нет общей теории, терминологии и методов решения, интегральные уравнения не выделяются в самостоятельный раздел, а выступают как инструмент для решения прикладных задач. На втором этапе происходит построение классической теории. На третьем этапе теория интегральных уравнений становится неотъемлемой частью функционального анализа и формируется как самостоятельный предмет исследования.
Первыми к интегральным уравнениям пришли Эйлер и Лаплас в XVIII-XIX веках.[8] Эйлер в своих работах прибегнул к интегральному уравнению, когда представлял решение дифференциальных уравнений в виде определенных интегралов

. Эти результаты были описаны и систематизированы в его работе «Интегральное исчисление». Так, Эйлер нашел решение уравнения
x2a+bxnd2z+xc+lxndxdz+f+gxnzdx2=0
в виде определенного интеграла. Частным случаем этого уравнения является гипергеометрическое уравнение:
x1-xd2xdz2+γ-α+β+1xdzdx-αβz=0.
На основе идей Эйлера Лаплас разработал метод решения дифференциальных уравнений в частных производных, названный методом Лапласа. В этом методе путем интегральных преобразования переходят от дифференциальных уравнений к линейным алгебраическим уравнениям и находят их решение.
Другой работой, которая обозначила начало развития интегральных уравнений, является работа Абеля о таутохроне. В его работе впервые рассмотрена задача, которая непосредственно привела к интегральному уравнению