Обобщенная модель лотки-вольтерра с автоколебаниями

Обобщенная модель с автоколебаниями характеризуется колебаниями численности популяций хищника и жертвы. Колебания в свою очередь к исчезновению популяций не приводят.
Была рассмотрена модель следующего вида:
(2.21)
где
N1 и N2 – численность популяции жертвы и популяции хищника соответственно.
ɑ, b, c, α1, α2 – положительные постоянные;
- трофическая функция хищника, которая описывает количество жертв, истребляемых одним хищником в единицу времени;
- коэффициент, характеризующий размножения популяции жертв;
- коэффициент, характеризующий размножения популяции хищников.
Лимитирующая функция среды описывается коэффициентом, характеризующим размножения популяции жертв. Трофическая функция хищника такова, что
(2.22)
Выражение 2.22 отражает эффект насыщения хищников. Предельными свойствами обладает и коэффициент, характеризующий размножения хищников:
(2.23)
Скорость размножения хищников конечна

. Такой вывод был сделан в результате того, что скорость размножения хищников не меняется при достаточно малых концентрациях жертв. Аналогичная ситуация обстоит при достаточно больших концентрациях жертв.
Выделяют следующие положения равновесия системы.
1) М0 = (0,0).
Система линейного приближения:
(2.24)
λ1 = ɑ, λ2 = − с. – собственные числа матрицы с разными знаками. Т.е M0 – седло с сепаратрисами, совпадающими с осями координат.
2) М1 = (ɑ/b, 0)
Система линейного приближения:
(2.25)
λ1 = - ɑ ˂ 0, - собственные числа матрицы линейного приближения.
При λ2 меньше 0 устойчивый узел, а при λ2 больше 0 – устойчивый фокус.
3) М2 = (N1*, N2*).
N1* - решение уравнения
(2.26)
В уравнении интересует положение равновесия в первом квадранте, поэтому
(2.27)
Чтобы определить значение N2* необходимо преобразовать выражение следующим образом:
(2.28)
Следовательно матрица системы преобразуется:
(2.29)
Следующий этап исследование собственных чисел.
(2.30)
Было получено условие, при котором М2 – фокус или неустойчивый узел, а SpA больше 0.
(2.31)
Очевидно, что ɑ больше b.
Следующий этап характеризуется построением нуль-изоклинов системы