Обобщенная модель лотки-вольтерра

Обобщенная модель Лотки-Вольтерры представлена ниже:
(2.1)
Где N1, N2 – численность популяции жертвы и популяции хищника соответственно (характеризуются положительными значениями);
Система характеризуется несколькими состояниями равновесия:
(0, 0);
(c1/ɑ11, 0);
(0, - с2/ɑ22);
Решается система в следующем виде:
(2.2)
единственное решение которой N1* 0, N2* 0.
(2.3)
Взяли положения равновесия 1), 2), 3), которые располагаются в первом квадранте и на его границе, и линеаризовали систему вблизи указанных положений равновесия.
1) N1* = 0, N2* = 0
(2.4)
Рассмотренное положение равновесия называется седло. С осями координат совпадают сепаратрисы седла.
2) N1* = с1/ɑ11, N2* = 0,
(2.5)
λ1 = − с1 ˂ 0, λ2 = −с2 + ɑ21с1/ɑ11 – собственные числа системы

. В том случае, если λ2 меньше 0, то будет устойчивый узел. Если λ2 больше 0, то положение равновесия будет седлом. В данном случае положение равновесия будет седлом всегда, поскольку с1ɑ21 больше с2ɑ11.
3) (2.6)
Матрица системы линейного приближения
(2.7)
У матрицы выделяют определитель матрицы и ее след.
Через ∆ обозначается определитель матрицы, через ϭ обозначается след матрицы.
Особый многочлен можно записать в следующем виде:
(2.8)
С учетом выражения 2.9
(2.9)
матрицу можно представить в следующем измененном виде
(2.10)
Следовательно, можно сделать вывод, что если D = ϭ2 - 4∆ больше 0 , то положение равновесия – устойчивый узел, если D меньше 0, то положение равновесия – устойчивый фокус.
Для реальных естественных популяций характерно наличие предельных циклов