Нахождение общего интеграла

Существует несколько методов нахождения общего интеграла уравнений в полных дифференциалах. Рассмотрим алгоритмы решения ДУ в полных дифференциалах на примерах.
1. Метод последовательно интегрирования.
Найдем общий интеграл дифференциального уравнения:
5xy2-x3dx+5x2y-ydy=0 [6].
Пусть Px,y=5xy2-x3 и Qx,y=5x2y-y - некоторые функции. Проверим выполнение необходимого и достаточного условия того, что дифференциальное уравнения является уравнением в полных дифференциалах:
∂Qx,y∂x=∂Px,y∂y.
∂Qx,y∂x=∂5x2y-y∂x=10xy; ∂Px,y∂y=∂5xy2-x3 ∂y=10xy.
Условие выполняется.
Пусть fx,y- функция, для которой выполняется:
∂fx,y∂x=Px,y, 11
∂fx,y∂y=Qx,y. (12)
Найдем fx,y из уравнения (12):
dfx,y=Qx,ydy fx,y=5x2y-y dy=5x2y22-y22 +gx, где gx найдем из условия:
∂fx,y∂x=∂5x2y22-y22 +gx∂x=5xy2+g'x=Px,y (см

. 12)⇒
5xy2+g'x=5xy2-x3⇒gx=-x3dx=-x44+C.
fx,y=5x2y22-y22 -x44+C=5x2-1y22 -x44+C.
5x2-1y22 -x44+C=0-общий интеграл.
Найдем общий интеграл уравнения:
3x21+lnydx=2y-x3ydy.
Перепишем его в виде:
3x21+lnydx+x3y-2ydy=0.
Пусть Px,y=3x21+lny и Qx,y=x3y-2y - некоторые функции. Проверим выполнение необходимого и достаточного условия того, что дифференциальное уравнения является уравнением в полных дифференциалах:
∂Qx,y∂x=∂Px,y∂y.
∂Qx,y∂x=∂x3y-2y ∂x=3x2y, ∂Px,y∂y=∂3x21+lny∂y=3x2y.
Условие выполняется. Следовательно, данное уравнение записано в полных дифференциалах.
Пусть fx,y- функция, для которой выполняется:
∂fx,y∂x=Px,y, ∂fx,y∂y=Qx,y.
dfx,y=Px,ydx fx,y=3x21+lnydx=x31+lny+gy, где gy найдем из условия:
∂fx,y∂y=∂x31+lny+gy∂y=x3y+dgydy=Qx,y.
x3y+dgydy=x3y-2y ⇒dgydy=-2y⇒gy=-y2+C, где C =const.
Тогда fx,y=x31+lny-y2+C, x31+lny-y2=C-общий интеграл.
2