Логико-математический анализ утверждений

Логико-математический анализ структуры любого утверждения подразумевает:
определение условий и заключения высказывания;
определение вида суждения: простое, сложное [14];
установление формы формулировки.
Отметим, что утверждение, истинность которого доказывается, – это теорема, а утверждение, не требующее доказательств, – аксиома.
Проведем анализ утверждений, используемых при изучении производной.
Теорема 1. Если функции u и v в точке x0 имеют производные (дифференцируемы), то их сумма также имеет в этой точке производную [21], т.е.
u+v'=u'+v'.
Иными словами, производная суммы равна сумме производных [12].
Условие: функции u и v в точке x0 дифференцируемы.
Заключение: 1) сумма функций u и v в точке x0 дифференцируема, 2) u+v'=u'+v'.
Теорема сформулирована в импликативной форме. Так как в утверждении одно условие и два заключения, то оно является сложным.
Пример 1. x2+3'=x2'+3'=2x+0=2x.
Теорема 2. Если функции u и v в точке x0 имеют производные (дифференцируемы), то их произведение также имеет в этой точке производную [12], т.е.
uv'=u'v'.
Условие: функции u и v в точке x0 дифференцируемы.
Заключение: 1) произведение функций u и v в точке x0 дифференцируемо, 2) uv'=u'v'.
Аналогично предыдущему утверждению оно построено в импликативной форме и является сложным.
Пример 2. x2y3'=x2'∙y3'=2x∙3y2=6xy2.
Следствие

. Если функция u дифференцируема в точке x0, а C – постоянная, то функция Cu дифференцируема в этой точке и
Cu'=Cu'.
Т.е. постоянный множитель можно выносить за знак производной [12].
Условие: 1) функция u дифференцируема в точке x0, 2) C – постоянная.
Заключение: 1) функция Cu дифференцируема в x0, 2) Cu'=Cu'.
Сформулировано утверждение в импликативной форме и является сложным, имея два условия и два заключения.
Пример 3. 5x2'=5x2'=5∙2x=10x.
Следствие. Если функции u и v в точке x0 имеют производные (дифференцируемы), то их разность также имеет в этой точке производную [21],
u-v'=u'-v'.
Условие: функции u и v в точке x0 дифференцируемы.
Заключение: 1) разность функций u и v в точке x0 дифференцируема, 2) u-v'=u'-v'.
Следствие имеет импликативную форму и является сложным.
Пример 4. x5-y'=x5'-y'=5x4-1.
Теорема 3. Если функции u и v дифференцируемы в точке x0 и функция v не равна нулю в этой точке, то частное uv также дифференцируемо в x0 и
uv'=u'v-uv'v2.
Условие: 1) функции u и v дифференцируемы в точке x0, 2) функция v не равна нулю в этой точке.
Заключение: 1) частное uv дифференцируемо в x0, 2) uv'=u'v-uv'v2.
Построено утверждение в импликативной форме и является сложным, имея два условия и два заключения.
Пример 5. x2-1x'=x2'-1x'=2x--1x2=2x+1x2.
Утверждение о производной сложной функции