Компьютерное моделирование численного интегрирования
Зарегистрируйся в два клика и получи неограниченный доступ к материалам,а также
промокод
на новый заказ в Автор24. Это бесплатно.
Введение
Целью данной работы является изучение методов численного интегрирования, оценка погрешностей методов, а также реализация данных методов на языке программирования С++. Численные методы (Вычислительная математика) — раздел прикладной математики, в котором проводятся разработки, обоснование и реализация (на базе вычислительной техники) методов приближенного решения разнообразных задач на уровне математических моделей. Часто приходится сталкиваться с интегралами, которые не выражаются через элементарные функции, хотя они играют большую роль, как в математическом анализе, так и в его разнообразных приложениях. Некоторые из них даже имеют специальные названия: интеграл ошибок, интегральный синус, эллиптические интегралы. Вычислить такие интегралы иногда удается, разложив подынтегральную функцию в ряд. Если эти методы не дают результата или неприменимы, то величину определенного интеграла можно вычислить с помощью формул численного интегрирования, которые также называются квадратурными формулами. Всё это определяет высокую актуальность темы курсовой работы. Следует подчеркнуть компьютерно-ориентированный характер численных методов - в конечном итоге их реализация связана с применением вычислительной техники и программирования. В данной курсовой работе стоит задача решения практических задач нахождения интегралов численными методами с использованием приёмов программирования на компьютере. Для выполнения данной работы используем язык программирования С++ и среду разработки Code::Blocks.
Вычислительный эксперимент
Вычислим интеграл abf(x)dx с точностью ε=0.001 изученными методами. Пусть fx=xlnx, a=1;b=4. Далее приводим текст программы с пояснениями: #include iostream#include math.h#include conio.h#include localeusing namespace std; double f(double x) { retur...
Открыть главуЗаключение
В данной работе изучены численные методы интегрирования (метод средних прямоугольников, трапеций, Симпсона). Составлены блок-схемы алгоритмов вычисления интеграла данными методами. На языке программирования С++ в среде разработке CodeBlocks составлены программы для вычисления интеграла с заданной точностью. При этом использовалось правило двойного пересчёта Рунге. Полученные реальные погрешности не превысили заданной, т.е. программы успешно вычисляют интегралы с требуемой точностью. Наиболее точным является метод Симпсона. Действительно, порядок точности метода трапеций и средних прямоугольников равен 2, т.е. при увеличении числа точек разбиения вдвое погрешность уменьшается в 22=4 раза. Порядок точности метода Симпсона равен 4, т.е. при увеличении числа точек разбиения вдвое погрешность уменьшается в 24=16 раз. Таким образом, при использовании формулы Симпсона требуемая точность достигается при меньших значениях n (количестве разбиений), чем при использовании формулы трапеций или средних прямоугольников для одинакового значения точности ε. Составленные программы можно широко использовать для приближённого вычисления интегралов, которые нельзя или трудно найти аналитически.
Список литературы
Андреев В.Б. Численные методы: Учеб. Пособие. – М.: Издательский отдел факультета ВМиК МГУ имени М.В. Ломоносова; МАКС Пресс Москва, 2013. — 336 с. Бабенко М.А. Введение в теорию алгоритмов и структур данных. Электронное издание / М.А. Бабенко, М. В. Левин – М.: МЦНМО, 2016, - 144 с. Бахвалов Н.С. Московский государственный университет им. М.В. Ломоносова. Численные методы: учеб. пособие для вузов / Н.С. Бахвалов, Н.П. Жидков, Г.М. Кобельков. – 5-е изд. – М.: БИНОМ. Лаборатория Знаний, 2007. – 636 с. Бахвалов Н.С. Численные методы. - М.: Наука, 2006. – 631 с. Данко П.Е. Высшая математика в упражнениях и задачах. (В 2-х частях). Учебное пособие для студентов втузов. / П.Е. Данко, А.Г. Попов, Т.Я. Кожевников – M.: Высшая школа, 2007. Информационные технологии и основы вычислительной техники. Учебник/ Макаров С. В., М.: Лань, 2020. – 264 с. Протасов И.Д. Лекции по вычислительной математике. – М.: Гелиос АРВ, 2009. – 211 с. Калиткин Н.Н. Численные методы. – М.: Наука, 1978. - 512 стр. Каханер Д. Численные методы и программное обеспечение (пер. с англ.). / Каханер Д., Моулер К., Нэш С. – Изд. второе, стереотип. – М.: Мир, 2001. – 575 с. Киреев В.И. Численные методы в примерах и задачах: учеб. пособие для втузов / В.И. Киреев, А.В. Пантелеев. – 2-е изд., стереотип. – М.: Высш. шк., 2006. – 480 с. Липпман С. Основы программирования на С++: Пер. с англ. / Липпман С., Стэнли Б. – М.: Издательский дом "Вильямc", 2002. – 256 с. Пискунов Н. С. Дифференциальное и интегральное исчисления: Учеб. пособие для вузов: В 2 т. — 13-е изд. — М.: Наука. Гл. ред. физ-мат. лит., 1985. — 432 с. Пол А. Объектно-ориентированное программирование на С++, СПб: невский диалект, 2001 – 476 с. Протасов И.Д. Лекции по вычислительной математике. – М.: Гелиос АРВ, 2009. – 211 с. Самарский А. А. Численные методы: Учеб. пособие для вузов. / А. А. Самарский, А. В. Гулин — М.: Наука. Гл. ред. физ-мат. лит., 1989. — 432 с. Страуструп Б. Программирование: принципы и практика с использованием С++ испр. изд.: Пер. с англ. – М.: ООО “И.Д. Вильямс”, 2011. – 1248 с. Скотт A. Microsoft Visio 2013.Шаг за шагом. – M.: Эком, 2014. – 612 с. Трофимов В. В. Алгоритмизация и программирование: учебник для академического бакалавриата / В. В. Трофимов, Т. А. Павловская; под ред. В. В. Трофимова. – М.: Издательство Юрайт, 2018. – 137 с. Численные методы: учебник и практикум для академического ба-калавриата / У. Г. Пирумов [и др.]; под ред. У. Г. Пирумова. — 5-е изд., перераб. и доп. — М.: Издательство Юрайт, 2018. — 421 с. Шень А. Программирование: теоремы и задачи. – 6-е изд., дополненное. – М.: МЦНМО, 2017. – 320 с.
