Инверсионные образы гиперболы

Найдем инверсионный образ гиперболы. Гиперболой называется множество всех точек плоскости, абсолютное значение разности расстояний каждой из которых до данных точек F1 и F2 есть величина постоянная, равная большой оси гиперболы. F1 и F2- фокусы гиперболы [4].
Построим гиперболу в программе GeoGebra, выбрав прямоугольную систему координат так, чтобы ее начало совпадало с центром гиперболы и центром инверсии, и ее инверсионный образ (рис. 18).
Рисунок 18 – Инверсионный образ гиперболы – лемнискаты Бернулли, центр инверсии лежит в вершине гиперболы
Каноническое уравнение гиперболы в выбранной системе координат имеет вид:
x2-y2=a2, (19)
где a- большой полуось гиперболы.
Применяя формулы инверсии (12) и (13), получим:
x12x12+y122-y12x12+y122=a2⇒x12-y12=a2x12+y122 ⇒
x12+y122-1a2x12-y12=0⇒x12+y122-2k2x12-y12=0-(20)
- уравнение лемнискаты Бернулли в декартовых координатах при k=12a .
Лемниската Бернулли представляет собой геометрическое место точек, расстояние которых от двух данных точек (фокусов) есть постоянная величина, равная квадрату половины межфокусного расстояния

. В GeoGebra на рисунке 18 получили лемнискату Бернулли, как инверсионный образ гиперболы относительно ее центра.
Покажем, что инверсионный образ равносторонней гиперболы относительно ее фокуса гиперболы – суть улитка Паскаля [4].
Уравнение гиперболы в рассматриваемой системе координат (пусть центр инверсии находится в правом фокусе):
x-a22-y2=a2⇒x2-22ax+2a2-y2=a2. (21)
Применяя формулы инверсии (12) и (13), получим:
x12x12+y122-22ax1x12+y12-y12x12+y122+a2=0⇒
x12-y12-22ax1x12+y12+a2x12+y122=0