Интегральные уравнения Вито Вольтерры

Уравнение Вольтерры имеет вид:
ux=fx+λaxKx,ξuξdξ. (8)
Подставим выражение для функции uξ:
ux=fx+λaxKx,ξfξ+λaξKξ,ξ1uξ1dξ1dξ=
=fx+λaxKx,ξfξdξ+λ2axKx,ξaξKξ,ξ1uξ1dξ1dξ.
Снова подставим выражение для функции uξ1. Повторяя процесс, получим бесконечный ряд в виде:
ux=fx+λaxKx,ξuξdξ+λ2axKx,ξaξKξ,ξ1fξ1dξ1dξ+
+λ3axKx,ξaξKξ,ξ1aξ1Kξ1,ξ2fξ2dξ2dξ1dξ+… (9)
Запишем общий вид для n-го члена ряда:
Vnx=λnaxKx,ξaξKξ,ξ1…aξn-2Kξn-2,ξn-1fξn-1dξn-1…dξ1dξ.
Исследуем ряд на сходимость. Для этого найдем оценку члена ряда Vnx. Так как выполняется
Kx,ξ≤M в R, fx≤N в L,
то оценка для Vnx:
Vnx≤λnNMnb-ann!, a≤x≤b.
Ряд с положительным общим членом λnNMnb-ann! сходится для любых λ, N, M, b-a, поэтому ряд (9) сходится абсолютно и равномерно.
Теорема.
Пусть дано интегральное уравнение:
ux=fx+λaxKx,ξuξdξ
и выполнены условия:
а) ядро Kx,ξ≠0 вещественно, непрерывно и ограничено: Kx,ξ≤M в R;
б) fx≠0 вещественна и непрерывна в R;
в) λ=const.
Тогда уравнение (1) имеет одно и только одно непрерывное решение ux, которое можно представить абсолютно и равномерно сходящимся рядом.
Для интегральных уравнений не всегда удается получить аналитическое решение

. Выбор метода зависит от типа интегрального уравнения. Рассмотрим несколько методов решения уравнений.
Интегральные уравнения Вольтерры возникают из тех задач математической физики, в которых существует предпочтительное направление изменения независимого переменного, например, энергии.
Пример 1. Рассмотрим пучок рентгеновских лучей, проходящих через вещество в направлении Ox и сохраняющий это направление при рассеянии. При прохождении через слой вещества dx часть лучей поглощается, а другая часть изменит длину волны в результате рассеяния.[6] Функция fλ,xdλ определяет совокупность лучей с длинами волн в промежутке от λ до λ+dλ.
∂fλ,x∂x=-μfλ,x+0λPλ,τfτ,xdτ,
μ –коэффициент поглощения, Pλ,τdτ – вероятность, что попадет в интервал длин волн от λ до λ+dλ.
Решение дифференциального уравнения типа
dnydxn+a1xdn-1ydxn-1+…+anxy=Fx
с начальными условиями
y0=C0, y'0=C1, …, yn-10=Cn-1
можно поставить в соответствие решение интегрального уравнение Вольтерры II рода.[6] Рассмотрим этот переход на примере дифференциального уравнения 2 порядка:
a2xd2ydx2+a1xdydx+a2xy=Fx, (2)
y0=C0, y'0=C1