Двойственные свойства параболы и циссоиды Диоклеса, кардиоиды

Свойства инверсии позволяют, используя известные свойства одних кривых, формулировать двойственные свойства их инверсионных образов.
Рассмотрим с доказательством четыре замечательных свойства параболы, которые наиболее изучены, чем свойства циссоиды Диоклеса и кардиоиды и покажем, как эти свойства распространяются на инверсионные образы с учетом свойств инверсии (Таблица 1).
Таблица 1. Двойственные свойства параболы и ее инверсионных образов
Замечательные свойства параболы Двойственные свойства инверсионных образов параболы
Множество точек пересечения взаимно перпендикулярных касательных к параболе есть прямая линия (директриса параболы), перпендикулярная оси параболы. Циссоида. Множество точек пересечения взаимно ортогональных окружностей, касающихся циссоиды и проходящих через её вершину, есть окружность, также проходящая через ее вершину, и ортогональная оси циссоиды.
Кардиоида. Множество точек пересечения взаимно ортогональных окружностей, касающихся кардиоиды и проходящих через её полюс, есть окружность, также проходящая через полюс и ортогональная оси кардиоиды.
Отрезки, соединяющие точки касания взаимно перпендикулярных касательных к параболе, пересекаются в одной точке, являющей фокусом параболы.
Циссоида. Окружности, которые проходят через точки касания взаимно ортогональных окружностей циссоиды, проходящие через вершину циссоиды, пересекаются в одной точке F', лежащей на оси циссоиды.
Кардиоида. Отрезки, соединяющие точки пересечения взаимно ортогональных окружностей, касающихся кардиоиды и проходящих через её полюс, пересекаются в одной точке являющейся полюсом кардиоиды.
Прямая, проходящая через точку М параболы, параллельно ее оси, и прямая, проведённая через точку М и фокус параболы, образуют с параболой в точке М равные углы. Циссоида. Окружность, проходящая через точку М циссоиды и касающаяся оси циссоиды в её вершине О, и окружность, проходящая через точки М, P (фокус циссоиды), образуют с циссоидой в точке М равные углы.
Кардиоида. Окружность, проходящая через точку М кардиоиды и касающаяся её оси в полюсе F, и прямая МF образуют с кардиоидой в точке М равные углы.
Докажем первое свойство параболы.
Построим параболу с фокусом в точке F и директрисой d (рис

. 22). Поведем две взаимно перпендикулярные касательные k и l, которые пересекаются в точке H. Докажем, что точка H лежит на директрисе параболы.
Рисунок 22 – Иллюстрация 1 свойства параболы
Пусть точки E и G-точки касания параболы и прямых k и l соответственно, а E1 и G1- проекции точек на директрису. ∆EFE1- равнобедренный, так как по определению параболы EE1=EF, следовательно, прямая k является биссектрисой, медианой и высотой. ∆EKE1=∆EKF, как прямоугольные с общим катетом и равными гипотенузами. ∆E1KH=∆FKH равны как прямоугольные с общим катетом KH и равными катетами E1K=KF. Следовательно, E1H=FH.
Аналогично доказывается сначала равенство треугольников ∆GLG1=∆GLF, затем ∆G1LH=∆FLH, откуда следует равенство сторон G1H=FH.
Получили E1H=G1H=FH. ∠KHL=900 по условию, ∠HKF=900, ∠HLF=900 из соответствующих прямоугольных треугольников. Следовательно, ∠KFL=900, ∆E1FG1, следовательно, вокруг него можно описать окружность с диаметром E1G1 и центром в точке H, так как, как уже было доказано ранее, E1H=G1H=FH=R, где R-радиус окружности. По построению E1 и G1- проекции точек на директрису, т.е. точки лежат на директрисе, то и точка H лежит на одной прямой с точками E1 и G1 и эта прямая – директриса параболы Аналогично можно доказать, что любая точка пересечения взаимно перпендикулярных касательных к параболе, например, a и b есть прямая линия (директриса параболы), перпендикулярная оси параболы.
Таким образом, свойство 1 доказано.
Покажем, как это свойство будет выглядеть для инверсионного образа параболы – циссоиды. Для этого построим параболу с вершиной в начале координат, фокусом F и циссоиду относительно окружности инверсии ω с центром в начале координат. Проведем две пары взаимно перпендикулярных касательных a,b и c,d. Пусть прямые не проходят через центр инверсии, тогда их образами будут окружности с центрами, отличными от начала координат. Так как полученные окружности являются образами касательных прямых к параболе, то они будут касаться циссоиды (как было доказано в теореме 2, пункт 1.2)