Двойственные свойства гиперболы и лемнискаты Бернулли

Докажем основное свойство гиперболы, называемое оптическим, которым обладают все кривые второго порядка.
Теорема 5. Прямые, проходящие через фокусы гиперболы F1 и F2, пересекающиеся в точке B, лежащей на гиперболе, образуют с ней в точке B равные углы.
Предположим, что касательная k, она же биссектриса угла ∠F1BF2 пересекает гиперболу еще в какой-нибудь точке H (лежащей на той же дуге, что и B). Для удобства будем считать, что точка B лежит на дуге, которая ближе к фокусу F2 (рис. 28).

Рисунок 28 – Иллюстрация двойственных свойств гиперболы и лемнискаты
Построим точку F, симметричную F2 относительно k. Тогда F2H=HF, F2B=BF; кроме того, точки F1, F и B лежат на одной прямой. F1B-BF2=F1H-F2H⇒F1F=F1B-BF=F1H-HF. Но из неравенства треугольника F1FH имеем: F1FF1H-HF. Предположение неверно, следовательно, биссектриса в точке B касается гиперболы.
Построим инверсионный образ гиперболы относительно начала координат, как было ранее доказано, получим лемнискату Бернулли. Образами пересекающихся прямых будут пересекающиеся окружности, проходящие через начало координат и фокусы лемнискаты. Так как углы между кривыми сохраняются, то свойство для лемнискаты: окружности, проходящие через фокусы лемнискаты и начало координат в точке пересечения образуют равные углы с касательной к лемнискате в этой же точке.
3.3

. Двойственные свойства эллипса и лемнискаты Бута, улитки Паскаля
Сформулируем без доказательства двойственные свойства эллипса и лемнискаты Бута, улитки Паскаля (Таблица 2).
Таблица 2. Двойственные свойства эллипса и ее инверсионных образов (рис.29)
Оптическое свойство эллипса Двойственные свойства инверсионных образов эллипса
Касательная к эллипсу составляет равные углы с фокальными радиусами, проведенными к точке касания. Лемниската Бута. Касательные к кривой составляют равные углы с фокальными радиусами, проведенными в точку касания.
Улитке Паскаля. Угол, составляемый касательной к кардиоиде с радиус-вектором точки касания, равен половине угла, образуемого этим радиус-вектором с полярной осью.
Рисунок 29 – Иллюстрация двойственных свойств эллипса и лемнискаты Бута, Улитки Паскаля
ВЫВОДЫ
Анализируя свойства кривых второго порядка, можно сделать вывод, что у них у всех есть общие свойства, даже этим кривым можно сформулировать общее определение: геометрическое место точек плоскости, для каждой из которых отношение расстояния до заданной точки F (фокуса) к расстоянию до заданной прямой d (директрисы), не проходящей через заданную точку, постоянно и равно эксцентриситету ε, называется:
а) эллипсом, при 0≤ε1;
б) гиперболой, при ε1;
в) параболой, при ε=1