Дифференциальные уравнения в полных дифференциалах. Признак уравнения в полных дифференциалах

Уравнение вида:
Px,ydx+Qx,ydy=0 (7)
называется уравнением в полных дифференциалах, если его левая часть является полным дифференциалом некоторой функции fx,y, т. е. если
Px,ydx+Qx,ydy=dfx,y. (8)
Очевидно, что общий интеграл уравнения в полных дифференциалах будет иметь вид fx,y=C.
Таким образом, задача интегрирования дифференциального уравнения в полных дифференциалах фактически сводится к задаче отыскания функции двух переменных по ее полному дифференциалу.
Критерий, когда выражение Px,ydx+Qx,ydy представляет собой дифференциал некоторой функции fx,y и один из возможных способов ее нахождения, дает следующая теорема.
Теорема

. Пусть функции Px,y и Qx,y определены и непрерывны в области D плоскости xOy и имеют в ней непрерывные частные производные
∂Qx,y∂x и ∂Px,y∂y.
Для того чтобы выражение Px,ydx+Qx,ydy представляло собой полный дифференциал некоторой функции fx,y необходимо и достаточно, чтобы во всех точках области D выполнялось условие:
∂Qx,y∂x=∂Px,y∂y. (9)
Доказательство
1) Необходимость (⇒). Пусть
Px,ydx+Qx,ydy=dfx,y.
По определению дифференциала функции двух переменных:
dfx,y=∂f∂xdx+∂f∂ydy.
Следовательно,
∂f∂x=Px,y, ∂f∂y=Qx,y.
Тогда
∂P∂y=∂2f∂x∂y, ∂P∂x=∂2f∂y∂x⇒∂P∂y=∂P∂x , так как
по условию теоремы функции Px,y и Qx,y определены и непрерывны в области D и имеют в ней непрерывные частные производные.
2) Достаточность (⇐)