Анализ школьных учебников по теме «Симметрические многочлены»

Рассмотрим, каким образом представлена теория симметрии в основных комплектах школьных учебников по алгебре таких авторов, как Виленкин Н.Я., Мордкович А.Г., Башмаков М.И., Колягин Ю.М., Дорофеев Г.В. Проанализировав учебные пособия, мы выяснили, что для обычных классов общеобразовательной школы в программе по математике не предусмотрено введение понятия симметрических многочленов, но в программе для классов с углубленным изучением математики данный вопрос рассматривается.
Учебник Виленкина Н.Я. для 11 класса «Алгебра и начала анализа» с углубленным уровнем изучения математики затрагивает теорию симметрических многочленов и ее применения, а также системы симметрических уравнений. После того, как было введено понятие многочлена от нескольких переменных, автором вводится понятие «симметрический многочлен» сначала на примере многочлена от 2-х переменных. После этого дается точное определение «Многочлен F(x1,…,xn) называется симметрическим, если при любой перестановке входящих в него букв получается тождественно равный ему многочлен» [6]. Далее предлагается общий метод получения данных многочленов: «Выражение t+x1t+x2∙…∙(t+xn) с любой перестановкой букв x1,…,xn переходит в выражение, которое тождественно равно ему (отличающееся от исходного только порядком следования множителей). Поэтому при раскрытии скобок коэффициенты со степенями t, будут симметрическими многочленами от переменных «x1,…,xn»». Помимо этого, вводятся понятия основных симметрических многочленов и степенных сумм

. Проведено рассмотрение основной теоремы о симметрических многочленах с доказательством, которое осуществляется при помощи метода математической индукции посредством введения вспомогательной теоремы: «Любую степенная сумма sk=xk+yk может быть представлена в виде многочлена от σ1=x+y и σ2=xy» [6]. Также приводится доказательство теоремы для случая, когда n=2.
После этого автор возвращается к понятию «симметрический многочлен» в процессе изучения темы «Системы уравнений и неравенств» в пункте «Метод замены переменных. Системы симметрических уравнений». Данный пункт обозначен звездочкой, а это указывает на то, что излагаемые материалы несколько больше по объемам, нежели это предусматривает программа углубленного изучения математики. Здесь приводятся примеры решения систем симметрических уравнений и использование теории симметрических многочленов в целях решения иррациональных уравнений.
К каждому пункту предлагаются задания на применение теории симметрии для разложения многочленов на множители, решению уравнений 4 степени, решению систем уравнений.
В учебнике Мордковича А.Г. «Алгебра» для 9 класса с углубленным изучением математики вводится сначала понятие «симметрические выражения»: «Выражение p(x,y) называется симметрическим, если оно сохраняет свой вид при элементарной замене x на y, а y на x» [22]. Затем на основе данного определения вводятся понятия «симметрическое уравнение», «основные симметрические многочлены» и неявная формулировка основной теоремы о симметрических многочленах (без доказательства)