Алгоритм решения интегрального уравнения Вольтерры

φx=fx+0xKx-tφtdt. (13)
Его ядро Kx-t зависит только от разности x-t. Такие уравнения будем называть уравнениями Вольтерра типа свертки.
fx≓Fp, φx≓Φp, Kx≓Kp.
Теорема умножения. Пусть функции ft и φx являются функциями-оригиналами,
ft≓Fp, φx≓Φp,
тогда выполняется равенство
Fp∙Φp≓0tfτφt-τdτ.
Применим преобразование Лапласа:
Φp=Fp+KpΦp.
Отсюда выразим Φp:
Φp=Fp1-Kp, Kp≠1.
Далее для функции Φp находится оригинал, который и будет решением искомого интегрального уравнения.
Пример 4.
Найдем решение интегрального уравнения с помощью преобразования Лапласа
φx=sinx+20xcosx-tφtdt.
Здесь fx=sinx, Kx,t=cosx-t. Видно, что ядро зависит только от x-t, значит, удобно применить преобразование Лапласа. Имеем
sinx≓1p2+1, cosx≓pp2+1.
Φp есть образ φx:
φx≓Φp.
Применим преобразование Лапласа и используем теорему о свертке:
Φp=1p2+1+2pp2+1Φp.
Выразим Φp:
Φp1-2pp2+1=1p2+1;
Φpp2+1-2pp2+1=1p2+1;
Φp=1p2+1-2p=1p-12.
Перейдем от изображения к оригиналу для Φp:
1p-12≓xex.
Получаем решение интегрального уравнения:
φx=xex.
Пример 5. Найти решение интегрального уравнения
φx=x+0xxtφtdt.
Вынесем общий множитель x и запишем уравнение в виде:
φx=x1+0xtφtdt.
Обозначим
yx=1+0xtφtdt.
y'x=xφt.
Так как φx=xyx, получим дифференциальное уравнение относительно функции φx:
y'x=x2yx.
Решим это уравнение

. Общий вид решения:
yx=Cex33.
Из равенства
yx=1+0xtφtdt
найдем начальное условие:
y0=1+00tφtdt=1,
y0=1.
Тогда найдем константу C:
C=1.
Получили решение уравнения:
φx=xex33.
Метод резольвенты
Дано интегральное уравнение Вольтерра II рода
φx=fx+λ0xKx,tφtdt (3)
Будем искать решение интегрального уравнения в виде бесконечного степенного ряда по степеням λ:
φx=φ0x+λφ1x+λ2φ2x+…+λnφnx+… (4)
Подставляя это выражение в (3), получим:
φ0x+λφ1x+λ2φ2x+…+λnφnx+…=
=fx+λ0xKx,tφ0t+λφ1t+λ2φ2t+…+λnφnt+…dt.
Сравним коэффициенты при одинаковых степенях λ:
φ0x=fx;
φ1x=0xKx,tφ0tdt=0xKx,tftdt;
φ2x=0xKx,sφ1sds=0xKx,sds0sKs,tftdt.
Полученные соотношения позволяют последовательно определить функции φnx. Полученный ряд сходится равномерно по x и λ и его сумма φx есть решение интегрального уравнения (3).
φnx=0sKnx,tftdt.
Knx,t называют повторными, или итерированными ядрам