Записать уравнения границ области найти совместную плотность распределения

Записать уравнения границ области
Дуга параболы с осью симметрии x=0
y=-x2
Прямая, проходящая через точку 0;-1 параллельная оси абсцисс
y=-1
Таким образом, уравнения границ области
y=-x2y=-1
найти совместную плотность распределения
Совместная плотность распределения
fx, y=c, -1≤x≤1, -1≤y≤-x20, иначе.
Неизвестную константу c определим, использовав условие нормировки плотности вероятности
-∞∞-∞∞fx,ydxdy=-11-1-x2cdydx=c-11-x2+1dx=c-x33-11+x-11=c∙-13-13+1+1=43c=1 ⟹c=34
Совместная плотность распределения имеет вид
fx, y=34, -1≤x≤1, -1≤y≤-x20, иначе.
найти плотность и функции распределения одномерных составляющих случайного вектора Z=X,Y
Найдем плотность распределения X. Используем формулу
fx=-∞∞fx,ydy
Если x≤-1, то fx,y=0, следовательно fx=0.
Если -1<x≤1, тогда
fx=-1-x234dy=34y-1-x2=34-x2+1=341-x2
Если x>1, то fx,y=0, следовательно fx=0.
Плотность распределения X имеет вид
fx=0, при x≤-1341-x2, при-1< x≤10, при x>1
Найдем функция распределения X . Используем формулу
Fx=-∞xfxdx
Если -∞<x≤-1, то fx=0, следовательно,
Fx=-∞x0dx=0
Если -1<x≤1, то
Fx=-∞-10dx+-1x341-x2dx=34x-x33-1x=34x-x33+1-13=34∙x-x33+23=143x-x3+2
Если 1<x<+∞, то
Fx=-∞-10dx+-11341-x2dx+1x0dx=34x-x33-11=34∙1-13+1-13=34∙43=1
Функция распределения X имеет вид
Fx=0, при x≤-1143x-x3+2, при-1< x≤11, при x>1
Найдем плотность распределения Y. Используем формулу
fy=-∞∞fx,ydx
Если y≤-1, то fx,y=0, следовательно fy=0.
Если -1<y≤0, тогда
fy=--y-y34dx=34x--y-y=34-y+-y=32-y
Если y>0, то fx,y=0, следовательно fy=0.
Плотность распределения Y имеет вид
fy=0, при y≤-132-y, при-1< y≤00, при y>0
Найдем функция распределения Y. Используем формулу
Fy=-∞yfydy
Если -∞<y≤-1, то fy=0, следовательно,
Fy=-∞y0dy=0
Если -1<y≤0, то
Fy=-∞-10dy+-1y32-ydy=-32∙23-y32-1y=--y3+1
Если 0<y<+∞, то
Fy=-∞-10dy+-1032-ydy+0y0dy=-32∙23-y32-10=0+1=1
Функция распределения Y имеет вид
Fy=0, при y≤-1--y3+1, при-1< y≤01, при y>0
найти математическое ожидание и дисперсию для случайных величин X и Y
Математическое ожидание X
MX=-∞∞xfxdx=-∞-1x∙0dx+-11x∙341-x2dx+1∞x∙0dx=34-11x-x3dx=34x22-x44-11=34∙12-14-12+14=0
Дисперсия X
DX=-∞∞x2fxdx-MX2=-∞-1x2∙0dx+-11x2∙341-x2dx+1∞x2∙0dx-02=34-11x2-x4dx=34x33-x55-11=34∙13-15+13-15=34∙23-25=34∙415=15=0,2
Математическое ожидание Y
MY=-∞∞-∞∞yfx,ydxdy=-11-1-x234ydydx=34-11y22-1-x2dx=38-11x4-1dx=38x55-11-x-11=38∙15+15-1-1=38∙25-2=38∙-85=-35=-0,6
Дисперсия Y
DY=-∞∞-∞∞y2fx,ydxdy-My2=-11-1-x234y2dydx--352=34-11y33-1-x2dx-925=14-11-x6+1dx-925=14-x77-11+x-11-925=14-17-17+1+1-925=14-27+2-925=14∙127-925=37-925=75-63175=12175≈0,0686
определить, зависимы или нет составляющие случайного вектора
При -1< x≤0
fx=341-x2
При -1< y≤0
fy=32-y
При -1< x≤0 и -1< y≤0
fx,y=34≠fx∙ fy
Составляющие случайного вектора Z=X,Y зависимы.
найти коэффициент корреляции
Коэффициент корреляции
r=KxyDX∙DY
Для нахождения корреляции предварительно найдем ковариацию
Kxy=-∞∞-∞∞xyfx,ydxdy-MXMY=-11x-1-x234ydydx-0∙-35=34-11xy22-1-x2dx=34-11xx22-12dx=38-11x3-xdx=38x44-11-x22-11=3814-14-12+12=0
Коэффициент корреляции
r=KxyDX∙DY=015∙12175=0
Ответ: а) y=-x2y=-1; б) fx, y=34, -1≤x≤1, -1≤y≤-x20, иначе.; в) fx=0, при x≤-1341-x2, при-1< x≤10, при x>1; Fx=0, при x≤-1143x-x3+2, при-1< x≤11, при x>1; fy=0, при y≤-132-y, при-1< y≤00, при y>0; Fy= 0, при y≤-1--y3+1, при-1< y≤01, при y>0;
г) MX=0; DX=0,2; MY=-0,6; DY=12175; д) зависимы; е) r=0.