Заменив неизвестные параметры генеральной совокупности соответственно их наилучшими выборочными оценками, по данным задачи 4, используя χ2-критерий Пирсона на уровне значимости α=0.05, проверить две гипотезы о том, что изучаемая случайная величина ξ - месячная заработная плата работников торговой сферы города - распределена:
а) по нормальному закону распределения;
б) по равномерному закону распределения.
Построить на чертеже, где изображена гистограмма эмпирического распределения, соответствующие графики равномерного и нормального распределений.
Решение
Заменим неизвестные параметры генеральной совокупности их наилучшими выборочными оценками, то есть положим
Mξ=x=25.4; Dξ=S2=42.6781; σξ=6.5328
а) Проверим по критерию Пирсона гипотезу о том, что изучаемая случайная величина ξ - величина недельного объема выполненных работ - распределена по нормальному закону с параметрами a=25.4, σ=6.5328.
Найдем теоретические частоты попадания в интервалы. Нормируем границы интервалов:
zi=xi-aσ=xi-25.46.5328
Началом первого интервала положим -∞, концом последнего +∞. Определим теоретические вероятности попадания случайной величины в интервалы: Pi=12Фzi+1-Фzi и теоретические частоты: ni'=nPi=150Pi. Получим:
xi
xi+1
zi
zi+1
Фzi
Ф(zi+1)
Pi
ni'
4,7 9,5 -∞
-2,4247 -1,0000 -0,9847 0,0077 1,149
9,5 14,3 -2,4247 -1,6899 -0,9847 -0,9090 0,0379 5,679
14,3 19,1 -1,6899 -0,9552 -0,9090 -0,6605 0,1242 18,634
19,1 23,9 -0,9552 -0,2204 -0,6605 -0,1745 0,2430 36,454
23,9 28,7 -0,2204 0,5143 -0,1745 0,3930 0,2837 42,558
28,7 33,5 0,5143 1,2491 0,3930 0,7884 0,1977 29,654
33,5 38,3 1,2491 1,9838 0,7884 0,9527 0,0822 12,327
38,3 43,1 1,9838 +∞
0,9527 1,0000 0,0236 3,546
Объединим первый малочисленный интервал со вторым, последний малочисленный интервал с предпоследним, оставшееся число интервалов s=6
. Вычислим наблюдаемое значение критерия Пирсона:
χнабл2=ni-ni'2ni'
ni
ni'
ni-ni'
ni-ni'2
ni-ni'2ni'
6 6,828 -0,828 0,6860 0,1005
17 18,634 -1,634 2,6685 0,1432
42 36,454 5,546 30,7607 0,8438
36 42,558 -6,558 43,0013 1,0104
34 29,654 4,346 18,8876 0,6369
15 15,873 -0,873 0,7620 0,0480
2,7829
χнабл2=2.7829
По таблице критических точек распределения χ2 по уровню значимости α=0.05 и числу степеней свободы k=s-3=6-3=3 найдем χкрит2=7.8147. Так как χнабл2<χкрит2, нет основания отвергнуть гипотезу о нормальном распределении случайной величины ξ.
Построим на одном графике гистограмму относительных частот (прямоугольники с основаниями [xi;xi+1] и высотой hi=wil=wi4.8) и плотность теоретического нормального распределения с параметрами a=25.4, σ=6.5328:
б) Проверим по критерию Пирсона гипотезу о том, что изучаемая случайная величина ξ распределена по равномерному закону.
Оценки параметров a,b нормального распределения найдем методом моментов, зная, что Mξ=25.4; Dξ=42.6781
Задать вопрос
на новый заказ в Автор24.
