Заданная схема стержневой системы
Объект равновесия – стержневая система с подвешенным грузом.
Вырежем шарнирный узел B и покажем приложенные к нему нагрузки – продольные силы в стержнях NBA и NBC и внешнюю силу G.
Выбираем декартову систему координат с осями X, Y. Поскольку стержневая система находится в равновесии под действием силы G, составим и решим совместно два уравнения равновесия:
Fкx=0; NBC∙sin300- NBAsin600+G=0; (1)
Fкy=0; NBAcos600- NBC∙cos300=0; (2)
NBA= NBCcos300cos600=3 NBC
NBC∙sin300-3 NBCsin600+G=0
NBC=G=10кН
NBA=3∙10=17,73 кН
Для проверки правильности решения применяем графический метод — в выбранном масштабе строим замкнутый силовой многоугольник. От произвольной точки откладываем вектор заданной силы G. Затем через начало вектора G и конец вектора G проводим прямые, параллельные реакциям NBA и NBC искомых реакций стержней АВ и АС. Стрелки, изображающие направления сил NBA и NBC изображаем таким образом, чтобы в векторном многоугольнике было единое направление обхода в данном случае по часовой стрелке.
Выбираем масштаб сил mF=2 кНсм;
Тогда длина отрезка силы G равна lG=102=5см;
Измеряем искомые векторы, с учетом принятого масштаба получаем NBA=17,8 кН и NBC=10 кН. Векторный многоугольник показывает действительное направление искомых сил.
Решение
Разрежем нить, соединяющую груз G c рамой и изобразим реакции связей в точках А, В.
Определим опорные реакции из условий равновесия для плоской системы произвольно приложенных сил:
MA=0; RB∙3+G∙sin600∙2+G∙cos600∙4- q∙4∙1=0
RB=q∙4∙1-G∙sin600∙2-G∙cos600∙43=-5,91 кН
MB=0; RA∙3-G∙sin600∙2-G∙cos600∙1- q∙4∙2=0
RA=q∙4∙2+G∙sin600∙2+G∙cos600∙13=20,91кН
Fкх=0; HА-G∙sin600=0;
HА=G∙sin600=8,66 кН
Истинное направление реакции RB противоположно изображенному на схеме
Проверим решение задачи, составив уравнение равновесия
Y=RA+RB- q∙4∓G∙cos600=
=-5,91+20,91-20+10∙0,5=0;
Проверка выполняется, следовательно, реакции вычислены верно
Определим реакции опор из условия статического равновесия рамы.
X=0; HА+F=0;
HА=-F=-50 кН
MCправ=0; VB∙4-q∙4∙2-F∙2=0;
VB=q∙4∙2+F∙24=65 кН
MА=0;VB∙6-q∙6∙3-F∙2+MА=0;
MА=-VB∙6+q∙6∙3+F∙2=-65∙6+360+100=70 кН
MCлев=0; VА∙2-MА-q∙2∙1=0;
VА=q∙2∙1+MА2=55 кН
Проверим решение задачи, составив уравнение равновесия
Y=VA+VB-q∙6=65+55-120=0
Для вычисления реакции в шарнире С разрежем раму по этому шарниру и рассмотрим левую часть
Запишем уравнения статического равновесия рамы
X=0; HC+HА=0;
HC=-HА=50 кН
Y=0; VА+VC-q∙2=0;
VC=q∙2-VА=-15 кН
Истинное направление реакций VC и HАпротивоположно изображенным на схеме
Вычислим величины составляющих реакций связи в точках A и B и силу натяжения троса из уравнений статического равновесия
. Предварительно изобразим реакции на расчетной схеме. Запишем шесть уравнений статического равновесия
Fkx=0; -XA+F1-N∙sin300=0 (1)
Fky=0; YA+YB=0 (2)
Fkz=0; ZB+ZA-F2+N∙cos300-G=0 (3)
mxFk=0; N∙cos300∙ВС-F2∙0,5∙ВС-G∙0,5∙ВС=0 (4)
mу(Fk)=0; ZA∙AB+N∙cos300∙AB-G∙0,5∙AB=0 (5)
mz(Fk)=0; N∙sin300∙ВС-F1∙0,5∙ВС+M-YA∙AB=0 (6)
Из четвертого уравнения находим
N∙cos300-F2∙0,5-G∙0,5=0;N=(F2+G)∙0,5cos300=11,55 кН
Из пятого уравнения находим
ZA=-N∙cos300+G∙0,5=-4 кН
Из шестого уравнения находим
YA=N∙sin300∙ВС-F1∙0,5∙ВС+MAB=2,59 кН
Из третьего уравнения находим
ZB=-ZA+F2-N∙cos300+G=14 кН
Из второго уравнения находим
YB=-YA=-2,59 кН
Из первого уравнения находим
XA=F1-N∙sin300=0,23 кН
x=3t+1; y=2t2+4; t=2c
Для определения уравнения траектории точки исключим из заданных уравнений движения время t.
t=x-13; y=2∙x-132+4;
Это уравнение параболы с центром в точке (1; 4).
Траектория движения
Найдем координаты точки в момент времени t=2с:
x=2∙sinπ3=1,73 см; y=-3∙cosπ3+2=0,5 см;
x=3∙2+1=7 м;
y=2∙22+4=12 м
Найдем проекции скорости на оси координат:
vx=dxdt=3;
vy=dydt=4∙t;
Найдем скорость точки в момент времени t=2:
vx=3мс
vy=4∙2=8мс
Полная скорость равна:
v=vx2+vy2=32+82=8,54мс
Вектор скорости точки в заданный момент
Найдем проекции ускорения на оси координат:
ax=dvxdt=0;
ay=dvуdt=4мс2;
В момент времени t=2с:
ax=dvxdt=0;
ay=dvуdt=4мс2;
Полное ускорение равно:
a=ax2+ay2=4мс2
Найдем касательное ускорение:
at=dvdt=vx∙ax+vy∙ayv=0+8∙48,54=3,75мс2
Найдем центростремительное ускорение:
an=a2-at2=42-3,752=1,40cмс2
Задать вопрос
на новый заказ в Автор24.
