Задана матрица интенсивностей переходов непрерывной цепи Маркова Λ

Марковскую цепь с непрерывным временем можно изображать размеченным графом состояний.
Составим граф состояний для заданной матрицы интенсивностей переходов
Λ=λ11λ12λ13λ21λ22λ23λ31λ32λ33=-6153-4120-2
Состояние Si называется существенным, если нет другого состояния Sj такого, что, перейдя однажды каким-то способом из Si в Sj, система уже не может вернуться в Si.
Составим систему дифференциальных уравнений Колмогорова
p1't,p2't,p3't=p1t,p2t,p3t∙λ11λ12λ13λ21λ22λ23λ31λ32λ33
Тогда получим систему для заданной матрицы интенсивностей переходов:
p1'=-6p1+3p2+2p3p2'=p1-4p2+0∙p3p3'=5p1+p2-2p3
Найдем стационарное вероятности, полагая что
p1'=0, p2'=0, p3'=0
Присоединим к системе уравнений условие p1+p2+p3=1, получим систему линейных алгебраических уравнений:
-6p1+3p2+2p3=0p1-4p2=05p1+p2-2p3=0p1+p2+p3=1p1=831p2=231p3=2131
Решение полученная система дает стационарные точки системы: Q831;231;2131
Для отыскания предельного распределения вероятностей состояний будем решать систему:
p1'=-6p1+p2+5p3p2'=3p1-4p2+p3p3'=2p1-2p3
Исключая переменную p3=1-p1-p2, получим:
p1'=-6p1+p2+51-p1-p2p2'=3p1-4p2+1-p1-p2p1'=-11p1-4p2+5p2'=2p1-5p2+1
Получаем линейную неоднородную систему дифференциальных уравнений . Пользуясь метод исключения, выразим из первого уравнения системы p2:
4p2=-11p1+5-p1'
p2=-114p1'-14p1+54
Далее дифференцируем по t обе части:
dp2dt=-114∙dp1dt-14p1+54t'=-114∙d2p1d2t-14∙dp1dt
Подставим p2 и dp2dt во второе уравнение системы dp2dt=-114∙dp1dt-14p1+54:
-114∙d2p1d2t-14∙dp1dt=2p1-5∙-114p1'-14p1+54+1
-114∙d2p1d2t-14∙dp1dt=2p1+554∙dp1dt+54p1-254+1
-114∙d2p1d2t-14∙dp1dt-134p1=-214
114∙d2p1d2t+14∙dp1dt+134p1=214
В результате произведенных преобразований получаем линейное неоднородное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами.
Найдем общее решение соответствующего однородного уравнения:
114∙d2p1d2t+14∙dp1dt+134p1=0
Составим и решим характеристическое уравнение:
114λ2+14λ+134=0
11∙λ2+56∙λ+13=0
D=562-4∙11∙13=3136-572=2564>0
λ1,2=-56±256422=-56±264122=-2811±64111
λ1=-2811-64111≈-4,847 и λ2=-2811+64111≈-0,244
Корнями характеристического уравнения являются два различных действительных числа