Задана функция U (x y) выражающая меру полезности набора

Наибольшая скорость изменения функции U (x;y), в точкеM0(2;3) численно равна модулю градиента этой функции. Следовательно, в условиях задачи сначала нужно найти градиент заданной функции в точке M0(2;3).
Чтобы найти градиент gradu=∂u∂xi+∂u∂yj, определим сначала частные производные функции:
∂u∂x=lnx+e-y'x=1x+e-y∙x+e-y'x=1x+e-y∙1=1x+e-y
∂u∂y=lnx+e-y'y=1x+e-y∙x+e-y'y=1x+e-y∙-e-y=-e-yx+e-y
а затем вычислим их значения в точкеM0(2;3):
∂u∂xM0=∂u∂x2;3=12+e-3
∂u∂yM0=∂u∂y2;3=-e-32+e-3
gradu2;3=∂u∂xi+∂u∂yj=12+e-3i-e-32+e-3j=12+e-3;-e-32+e-3
Зная, что наибольшая скоростьVmax=gradu2;3=∂u∂x2+∂u∂y2
∂u∂x2+∂u∂y2=12+e-32+-e-32+e-32=122+e-32+122+e-32∙-e-32=
=12+e-31+e-6=12+1e31+1e6=12e3+1e3e6+1e6=e32e3+1∙e6+1e3=e6+12e3+1
Ответ: Если набор товаров x=2;y=3, то функция полезностиU(x;y)=lnx+e-y имеет наибольшую скорость роста Vmax=e6+12e3+1