Задана функция распределения непрерывной случайной величины ξ

Воспользуемся свойствами функции распределения непрерывной сл. величины:
Fξx→1 при x→+∞
Fξx→0 при x→-∞
Пусть теперь π=3,14.
Тогда, т. к. arctgx→π2 при x→+∞ и arctgx→-π2 при x→-∞, то
A+B*π2=1 и A-B*π2=0
В ходе решения получаем A=12 и B=1π . Итак,
Fξx=12+arctgxπ, x∈R
Искомую плотность распределения вероятностей найдем как производную от Fξx:
fξx=12+arctgxπ'=0+1π*11+x2=1π*1+x2
Найдем вероятность попадания случайной величины в интервал π4;+∞
Pπ4≤X≤+∞=F+∞-Fπ4=1-1π*1+π42=1-1616π+π3=0,8031
Найдем Mξ, Dξ.
Вычислим математическое ожидание:
Mξ=-∞+∞xfxdx=-∞+∞x∙1π1+x2dx=1π-∞+∞x1+x2dx=
=12π-∞+∞11+x2d1+x2=12πln1+x2-∞+∞=
=12π*ln+∞-ln+∞=12π*0=0
Вычислим дисперсию:
Dξ=-∞+∞x2fxdx-Mξ2=20+∞x2∙1π1+x2dx-02=
=2π0+∞x21+x2dx=2π*∞=∞
Построим график Fξx.
Построим график fξx.