Является ли оператор φ заданный в некотором ортонормированном базисе матрицей A

Проверим выполнимость условия:
AAT=ATA=E
AAT=12∙1-2120-2121∙12∙121-2021-21=14∙400040004=100010001
ATA=12∙121-2021-21∙12∙1-2120-2121=14∙400040004=100010001
Значит, матрица A является матрицей ортогонального оператора.
Найдем канонический базис и матрицу φ в этом базисе. Составим характеристическое уравнение:
A-λE=0
12-λ-221222-λ-22122212-λ=0
-λ(12-λ)2+14+14+14λ+1212-λ+1212-λ=0
-14λ+λ2-λ3+12+14λ+14-12λ+14-12λ=0
-λ3+λ2-λ+1=0
-λ-1λ2+1=0
Собственные числа матрицы:
λ1=1 λ2=i λ3=-i
Найдем собственные векторы:
λ1=1
-12x1-22x2+12x3=022x1-x2-22x3=012x1+22x2-12x3=0 -x1-2x2+x3=02x1-2x2-2x3=0x1+2x2-x3=0
C помощью элементарных преобразований над строками матрицы преобразуем матрицу системы в трапециевидную:
-1-212-2-212-1~Умножим первую строку на 2 и сложим со второйСложим первую и третью строки
-1-210-40000
x1=x3x2=0
Положим x3=1, получим собственный вектор:
f1=(1;0;1)
λ2=i
12-ix1-22x2+12x3=022x1-ix2-22x3=012x1+22x2+12-ix3=0
C помощью элементарных преобразований над строками матрицы преобразуем матрицу системы в трапециевидную:
1-2i2-221222-i-2212221-2i2~Умножим первую строку на2+4i5
1-21+2i51+2i522-i-2212221-2i2~Умножим первую строку на -22 и сложим со второйУмножим первую строку на -12 и сложим с первой
1-21+2i51+2i501-3i5-2(3+i)502(3+i)52-6i5~Умножим вторую строку на 1+3i2
1-21+2i51+2i501-i202(3+i)52-6i5~Умножим вторую строку на -23+i5 и сложим со третьей
1-21+2i51+2i501-i2000
x2=i2x3x1=21+2i5x2-1+2i5x3=21+2i5i2x3-1+2i5x3=-x3
Положим x3=1, получим собственный вектор:
f2=(-1;i2;1)
Разделим собственный на два(действительную и мнимую части)
h2-1;0;1, h30;2;0
Нормируем собственные вектора:
e1=12;0;12
e2=-12;0;12
e3=0;1;0
Матрица перехода к базису:
T=12-12000112120
Матрица преобразования в данном базисе:
A'=1000010-10