Y''+4y=e-2x y0=0 y'0=0

Это линейное неоднородное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами. Решим сначала линейное однородное уравнение:
y''+4y=0
Составим и решим характеристическое уравнение:
k2+4=0 k1,2=±2i
Так как корни характеристического уравнения комплексные сопряженные, то общее решение однородного уравнения запишем в виде:
y0=C1sin2x+C2cos2x
Найдем частное решение неоднородного уравнения . Правая часть имеет специальный вид.
Поэтому частное решение неоднородного уравнения будем искать в виде:
y=Ae-2x y'=-2Ae-2x y''=4Ae-2x
Подставим данные в исходное уравнение:
4Ae-2x+4Ae-2x=e-2x
8Ae-2x=e-2x => A=18 y=18e-2x
Общее решение неоднородного уравнения:
y=y0+y=C1sin2x+C2cos2x+18e-2x
Найдем частное решение, удовлетворяющее начальным условиям:
y0=0 => C2+18=0 => C2=-18
y'=2C1cos2x-2C2sin2x-14e-2x
y'0=0 => 2C1-14=0 => C1=18
Частное решение:
y=18sin2x-18cos2x+18e-2x