Высказывания: простые и составные. Значение истинности высказывания. Высказывательные формы (предикат). Область истинности предиката. Операции над высказываниями: отрицание, коньюнкция, дизъюнкция. Таблицы истинности. Отношения следования и равносильности.
Среди следующих предложений укажите высказывания и предикаты и поясните свой ответ: а) 2– натуральное число; б) произведение чисел 2 и 7 равно 15; в) 232 > 312; г) х = 11 является решением неравенства 2х – 1 > 5; д) разность чисел х и 3 равна 7; е) прямые параллельны; ж) график функции у = х2 симметричен относительно оси ординат.
Решение
Высказывание – это повествовательное предложение, о котором можно сказать истинно оно или ложно. Обозначаются высказывания заглавными буквами латинского алфавита.
Высказывание называется простым, если оно не включает других высказываний в качестве своих частей. Например, 2+5=10 (ложное)
Высказывание является составным, если оно получено с помощью логических связок из простых высказываний. Например, «число 20 делится на 2 и на 10» (истинно)
Конъюнкцией высказываний А и В называется высказывание, обозначаемое А ∧ В. Конъюнкция истина, когда оба высказывания А и В истинны. Конъюнкция ложна, если ложно хотя бы одно из высказываний.
Таблица истинности для операции конъюнкции
A B A ∧ B
л
л
и
и и
л
л
и л
л
л
и
Дизъюнкцией высказываний А и В называется высказывание А∨В, которое истинно тогда и только тогда, когда хотя бы одно из высказываний истинно и ложно – когда оба высказывания ложны.
Таблица истинности для операции дизъюнкции.
A B A ∨B
л
л
и
и и
л
л
и и
л
и
и
Отрицанием высказывания А называется высказывание, обозначаемое А (читается «не А», «неверно, что А»), которое истинно, когда А ложно и ложно, когда А – истинно.
Таблица истинности для операции отрицания.
A А
и
л л
и
Импликацией высказываний А и В назовём высказывание «если А, то В» (АВ), которое ложно тогда и только тогда, когда А – истинно, В – ложно
. Операцию отыскания импликаций двух высказываний также называют импликацией.
Таблица истинности импликации высказываний
А В АВ
и
л
и
л л
и
и
л л
и
и
и
Пусть дана АВ. Тогда высказывание А называют основанием, или посылкой, а высказывание В – следствием, или заключением.
Дано высказывание «Если число 12 делится на 2 и на 3, то оно делится на 6». Так как высказывание А – «число 12 делится на 2» истинно, высказывание
В – «число 12 делится на 3» также истинно, то и импликация истинна.
Эквиваленцией высказываний А и В называется высказывание, которое истинно только тогда, когда высказывания А и В имеют одно и то же значение истинности, т. е. одновременно истинны или одновременно ложны. АВ –эквиваленция высказываний А и В. Читается «А тогда и только тогда, когда В».
Таблица истинности эквиваленции высказываний
А В АВ
и
и
л
л и
л
и
л и
л
л
и
Дано высказывание А – «число 5n делится на 2» и высказывание В – «число n является четным»
Задать вопрос
на новый заказ в Автор24.
