Вычислить площадь области заданной неравенствами x+r2+y2≤r2

Сделаем схематический чертеж искомой области (положив для определенности r = 2).:
x+r2+y2≤r2-область внутри окружности радиуса r с
центром в точке -r;0.
Перейдем к полярным координатам:
x+r=ρcosφy=ρsinφ
Тогда,
x+r2+y2=ρ2,
2x+2r≥y⇒ρsinφ≤2ρcosφ⇒sinφ≤2cosφ⇒tg φ≤2
Получаем,
0≤ρ≤r, π+arctg 2≤φ≤2π.
Площадь области найдем по формуле:
S= π+arctg 22πdφ0rρdρ= π+arctg 22πρ220rdφ= π+arctg 22πr22dφ=
=r22φπ+arctg 22π=r222π-π-arctg 2=r22π-arctg 2.