Вычислить площадь и найти координаты центра тяжести однородной пластинки

Площадь пластинки найдем по формуле:
S=D dxdy
Координаты центра тяжести найдем по формулам:
xC=1S∙D xdxdy; yC=1S∙D ydxdy
Построим область и опишем ее с помощью системы неравенств:
Найдем абсциссы точек пересечения:
4x-x2=2x x2-2x=0 xx-2=0 x=0 x=2
D: 0≤x≤22x≤y≤4x-x2 ∪ 0≤x≤2-4x-x2≤y≤-2x
Так как фигура симметрична относительно Ox, для нахождения ее площади найдем площадь верхней части, а результат умножим на 2:
S1=D1 dxdy=02dx2x4x-x2dy=02y4x-x22x=024x-x2-2xdx=
=024x-x2dx-202xdx=02-4+4x-x2+4dx-202xdx=
=024-(x-2)2dx-202xdx=x-2=tdx=dtx=0 => t=-2x=2 => t=0=
=-204-t2dt-202xdx=
=t=2cosudt=-2sinudut=-2 => u=πt=0 => u=π2=ππ24-4cos2t∙(-2sint)dt-202xdx=
=2π2π4sin2t∙sintdt-202xdx=4π2πsin2tdt-202xdx=
=2π2π(1-cos2t)dt-202xdx=2t-sin2tππ2-223x320=
=2π-sin2π-π+sinπ-83=π-83
S=2S1=2π-163
Так как фигура симметрична относительно Ox, то yC=0