Вычислить объем тела ограниченного заданными поверхностями и расположенного в 1 октанте

Проекция цилиндрической проекции x2+y2=12 на плоскость XOY (z=0) представляет собой окружность x2+y2=12. Плоскости z=0, x+y+z=1 ограничивают искомое тело снизу и сверху. Так как тело расположено в 1 октанте, то по бокам тело ограничено плоскостями x=0, y=0 и цилиндром x2+y2=12.
Проекция тела на плоскость XOY (z=0):
Перейдем к цилиндрической системе координат:
x=ρcosφy=ρsinφz=z.
Найдем уравнения поверхностей в цилиндрических координатах:
x2+y2=12⟹ρ2cos2φ+ρ2sin2φ=12⟹ρ2=12⟹ρ=12
x+y+z=1⟹z=1-x-y⟹z=1-ρcosφ-ρsinφ.
0≤ρ≤12.
Так как тело находится в первом октанте, то 0≤φ≤π2.
«Вертикальные» пределы интегрирования – входим в тело через плоскость z=0 и выходим из него через плоскость z=1-ρcosφ-ρsinφ:
0≤z≤1-ρcosφ-ρsinφ.
Перейдем к повторным интегралам:
V=(V)dxdydz=(V)ρdρdφdz=0π2dφ012ρdρ01-ρcosφ-ρsinφdz=0π2dφ012ρdρ∙z01-ρcosφ-ρsinφ=0π2dφ012ρdρ∙1-ρcosφ-ρsinφ-0=0π2dφ012ρ-ρ2cosφ-ρ2sinφdρ=0π2dφ∙ρ22-ρ33cosφ-ρ33sinφ012=0π2dφ∙1222-1233cosφ-1233sinφ-0=0π214-162cosφ-162sinφdφ=14φ-162sinφ+162cosφ0π2=14∙π2-162sinπ2+162cosπ2-18∙0-162sin0+162cos0=π8-162-162=π8-132≈0,157 ед.3.
Ответ: V=π8-132≈0,157 ед.3.