Вычислить интеграл (в цилиндрических или сферических координатах)

X2+y2+z2≤4R2 – внутренняя часть сферы с центром в начале координат радиуса 2R;
x2+z2≤-2Rx⟹x2+2Rx+z2≤0⟹x2+2Rx+R2-R2+z2≤0
⟹x+R2+z2≤R2 – цилиндрическое сечение в плоскости XOZ с основанием в виде окружности с началом в точке (-R, 0, 0) радиуса R.
Перейдем в полярные координаты:
x=rcosφ,y=y,z=rsinφ.
Так как r2+y2≤4R2⟹y2≤4R2-r2⟹-4R2-r2≤y≤4R2-r2.
Учитывая условие y≥0, имеем 0≤y≤4R2-r2.
Далее, x2+z2≤-2Rx⟹r2≤-2Rrcosφ⟹r≤-2Rcosφ.
0≤ φ≤2π.
Vyx2+z2dxdydz=Vyrrdφdrdy=Vydφdrdy=
=02πdφ0-2Rcosφdr04R2-r2ydy=02πdφ0-2Rcosφdr∙y2204R2-r2=
=1202πdφ0-2Rcosφ4R2-r2dr=2R202πdφ0-2Rcosφdr-
-1202πdφ0-2Rcosφr2dr=2R202πdφ∙r0-2Rcosφ-1202πdφ∙r330-2Rcosφ=
=-4R302πcosφdφ+8R3602πcos3φdφ=-4R302πcosφdφ+
+8R3602π1-sin2φcosφdφ=-4R302πcosφdφ+8R3602πcosφdφ-
-8R3602πsin2φcosφdφ=для 3го интеграла:u=sinφ,du=cosφdφφ=0,u=0; φ=2π,u=0
=-4R3sinφ02π+8R36sinφ02π-8R3600u2du=
=-4R30-0+8R360-0-0=0.