Вычислить двойной интеграл в полярных координатах. Бесплатный доступ к контрольной работе

Реферат.Справочник
Контрольные работы по высшей математике
Вычислить двойной интеграл в полярных координатах

Вычислить двойной интеграл в полярных координатах .pdf

Зарегистрируйся в 2 клика в Кампус и получи неограниченный доступ к материалам с подпиской Кампус+ 🔥

Условие

Вычислить двойной интеграл в полярных координатах: D (x2+y2)dxdy; D: x2+y2=4x

Решение

Потяни, чтобы посмотреть

Построим область интегрирования и перейдем к полярным координатам по формулам:
x=ρcosφy=ρsinφ dxdy=ρdρdφ
x2+y2=4x => x2-4x+4-4+y2=0 (x-2)2+y2=4
Окружность с центром в точке O(2;0) радиуса 2
x2+y2=4x => ρ2cos2φ+ρ2sin2φ=4ρcosφ
ρ2cos2φ+sin2φ=4ρcosφ
ρ2=4ρcosφ => ρ=4cosφ
ρ≥0 => φ∈-π2;π2
Перейдем от двойного интеграла к повторному:
D (x2+y2)dxdy=-π2π2dφ04cosφρ2∙ρdρ=-π2π2dφ04cosφρ3dρ=
=14-π2π2ρ44cosφ0dφ=64-π2π2cos4φdφ=64-π2π2(cos2φ)2dφ=
=64-π2π21+cos2φ22dφ=16-π2π2(1+2cos2φ+cos22φ)dφ=
=16-π2π21+2cos2φ+12+12cos4φdφ=16-π2π232+2cos2φ+12cos4φdφ=
=24φ+16sin2φ+2sin4φπ2-π2=
=12π+16sinπ+2sin2π+12π-16sin(-π)-2sin-2π=24π

50% задачи недоступно для прочтения

Переходи в Кампус, регистрируйся и получай полное решение

Получить задачу