Вычислить двойной интеграл Dx2sin2xydxdy

Сначала выполним чертеж области D:
Выберем следующий способ обхода области:
0≤x≤π2, 2x≤y≤π.
Вычисляем интеграл, переходя от двойного к повторному:
Dx2sin2xydxdy=0π2dx2xπx2sin2xydy=0π2x2dx2xπsin2xydy=
=0π2x2 -cos2xy2xπ2xdx=0π2x2 -cos2xπ2x+cos4x22xdx=-120π2xcos2xπ dx+
+120π2xcos4x2 dx
Первый интеграл найдем, используя метод интегрирования по частям:
0π2xcos2xπ dx=по частямu=x, du=dxdv=cos2xπdx, v=sin2xπ2π=xsin2xπ2ππ20-
-0π2sin2xπ2π dx=π2*sin2π2π2π+cos2xπ4ππ20=sinπ4+cos2π2π4π-
-cos04π=-14π-14π=-12π.
Второй интеграл найдем, сделав замену:
0π2xcos4x2 dx=заменаu=4x2, du=8xdxx=0, u=0x=π2, u=π=180πcosu du=18sinuπ0=18sinπ-sin0=0.
Таким образом, получили
Dx2sin2xydxdy=-12*-12π=14π.
Ответ: 14π.