Вычислить указанные пределы 1) limn→∞2n-12n+1n+1

Limn→∞2n-12n+1n+1=∞∞∞=limn→∞2n+1-22n+1n+1=
=limn→∞2n+12n+1-22n+1n+1=limn→∞1+-22n+1n+1=1∞=
=limn→∞1+12n+1-2n+1=limn→∞1+12n+1-22n+1-2(n+1)∙-22n+1=
=limn→∞e-2n+12n+1=e-2limn→∞n+12n+1 =e-2limn→∞nn+1n2nn+1n =e-2limn→∞1+1n2+1n =e-2∙12 =e-1=1e
Использован второй замечательный предел limα→∞1+1αα=e
2)limx→-2x2+7x+102x2+9x+10=00=limx→-2x+5x+22x-5x+2=limx→-2x+52x-5=
=-2+52∙-2-5=3-9=-13
x2+7x+10=0D=49-4∙10=9x=-7±92=-7±32x=-5;x=-2x2+7x+10=x+5x+2 ; 2x2+9x+10=0D=81-4∙2∙10=1x=-9±12∙2=-9±14x=-52;x=-22x2+9x+10=2x-52x+2=2x-5x+2
Числитель и знаменатель дроби при x→-2 стремятся к нулю, поэтому необходимо раскрыть неопределенность 00
Разложили на множители числитель и знаменатель, затем сократили дробь
3)limx→+∞2x-3lnx-2-lnx+1=∞∞-∞=
limx→+∞2x-3lnx-2x+1=limx→+∞lnx-2x+12x-3=lnlimx→+∞x-2x+12x-3=
=∞∞∞=lnlimx→+∞x+1-3x+12x-3=lnlimx→+∞x+1x+1-3x+12x-3=
=lnlimx→+∞1+-3x+12x-3=lnlimx→+∞1+1x+1-32x-3=1∞=
=lnlimx→+∞1+1x+1-3x+1-3(2x-3)∙-3x+1=lnlimx→+∞e-3(2x-3x+1=
=lne-3limx→+∞2x-3x+1 =-3limx→+∞2x-3x+1=∞∞=-3limx→+∞2xx-3xxx+1x=-3limx→+∞2-3x1+1x=
=-3∙21=-6
Использован второй замечательный предел limα→∞1+1αα=e
4)limx→∞4x-74x+3x3x2+1=∞∞∞∞=limx→∞4x-74x+3x3x3x2x3+1x3=
=limx→∞4x-74x+311/x+1/x3=∞∞∞=limx→∞4x+3-104x+311/x+1/x3=
=limx→∞4x+34x+3-104x+311x+1x3=limx→∞1+-104x+311x+1x3=1∞=
=limx→∞1+14x+3-104x+3-1011/x+1/x3∙-104x+3=limx→∞e-10(1x+1x3)(4x+3)=
=elimx→∞-10(x2+1)(4x+3)x3 =e-10limx→∞x3(x2+1)(4x+3) =e-10limx→∞x34x3+4x+3x2+3 =∞∞=
=e-10limx→∞x3x34x3x3+4xx3+3x2x3+3x3 =e-10limx→∞14+4x2+3x+3x3 =e-104 =e-52 =1e5
5) limx→0cos3x-cos5xx2=00=
( Воспользуемся тригонометрической формулой
cosα-cosβ=-2sinα+β2∙sinα-β2 )
=limx→0-2sin4x∙sin-xx2=limx→02sin4x∙sinxx2=
( Воспользуемся заменой бесконечно малых на эквивалентные
sinα~α при α→0 )
=limx→02∙4x∙xx2=8
Ответ: 1)1e;2) -13;3)-6;4) 1e5;5) 8