Вычислить пределы используя правило Лопиталя

Если в выражение, стоящее под знаком предела, вместо х подставить 1, то получим неопределенность вида 00, чтобы освободиться от такой неопределенности, сделаем замену переменной, воспользуемся формулой приведения: cosπ2 - π2t=sinπ2t а затем, используем основное логарифмическое тождество: a=eln⁡(a) и свойство логарифма: lnak=klna . Затем, чтобы найти данный предел, используя правило Лопиталя, выполним преобразование, которые приведут к неопределенности вида ∞∞ или 00 .
limx→11-xcosπx2=1-x=tx=1-tесли x→1 то t→0=limt→0tcosπ2 – π2t=limt→0tsinπ2t=00=
=limt→0elntsinπ2t=elimt→0lntsinπ2t=(*)
Найдем отдельно:
limt→0lntsinπ2t=limt→0sinπ2t∙lnt=0∙-∞=limt→0lnt1sinπ2t=-∞∞=limt→0lnt'1sinπ2t'=
=limt→01t-πcosπ2t2sin2π2t=limt→0-1t∙2sin2π2tπcosπ2t=-2πlimt→0sin2π2ttcosπ2t=00=-2πlimt→0sin2π2t'tcosπ2t'=
=-2πlimt→02sinπ2t∙sinπ2t't'∙cosπ2t+t∙cosπ2t'=-2πlimt→02sinπ2t∙cosπ2tπ2t'cosπ2t-t∙sinπ2tπ2t'=
=-2πlimt→0πsinπ2t∙cosπ2tcosπ2t-πt2∙sinπ2t=-2π∙π∙0∙11-0∙0=-0π=0.
Вернемся к прерванному решению:
*=e0=1