Вычислить определенные интегралы π29π2cosxxdx

Используем свойство подведения под знак дифференциала:
dx=dx2x
π29π2cosxxdx=2π29π2cosxdx=2sinxπ2π29=2sinπ-2sinπ3=0-2∙32=-3
Применим формулу интегрирования по частям:
u=x+3 dv=sinxdx
du=dx v=-cosx
0π2x+3sinxdx=-x+3cosxπ20+0π2cosxdx=
=-x+3cosxπ20+sinxπ20=-π2+3cosπ2+3cos0+sinπ2-sin0=3+1=4