Вычислить неопределённые интегралы 1 x+arccos3x21-9x2dx

1. x+arccos3x21-9x2dx=xdx1-9x2+arccos3x2dx1-9x2=t=1-9x2dt=-18xdx=-118dtt+arccos3x2dx1-9x2=-118*2t+arccos3x2dx1-9x2=-1-9x29+arccos3x2dx1-9x2=z=arccos3xdz=-3dx1-9x2=-1-9x29-13z2dz=-1-9x29-13*z33+C=-1-9x29-arccos33x9+C
2. 3x-1x2+9dx=3xdxx2+9-dxx2+9=3xdxx2+9-13arctgx3=t=x2+9dt=2xdx=32dtt-13arctgx3=32lnt-13arctgx3+C=32lnx2+9-13arctgx3+C
3. esinxcosxdx=t=sinxdt=cosxdx=etdt=et+C=esinx+C
4. x+4lnxdx=uv-vdu=u=lnxdu=dxxdv=x+4dxv=x22+4x=x22+4xlnx-x22+4x*dxx=x22+4xlnx-x2+4dx=x22+4xlnx-x24-4x+C
5 . 3x-1x2+9dx=3xdxx2+9-dxx2+9=3xdxx2+9-13arctgx3=t=x2+9dt=2xdx=32dtt-13arctgx3=32lnt-13arctgx3+C=32lnx2+9-13arctgx3+C
6. dx2+3x-2x2=dx-2x2-32x-1=dx-2x2-32x+916-2516=dx-2x2-32x+916-2516=dx258-x-342=t=x-34dt=dx=dt258-t2=dt5222-t2=arcsint522+C=arcsin22t5+C=arcsin22x-345+C
7. dxx3-8=dxx-2x2+2x+4
Рассмотрим интегрирование правильной дроби. Для этого ее надо представить в виде суммы простейших дробей.
1x-2x2+2x+4=Ax-2+Bx+Cx2+2x+4=Ax2+2Ax+4A+Bx2+Cx-2Bx-2Cx-2x2+2x+4
Где А, В и C – неопределенные коэффициенты, так как
1x-2x2+2x+4=x2A+B+x2A+C-2B+4A-2Cx-2x2+2x+4
То для определения коэффициентов А, В и C получаем систему:
A+B=0,2A+C-2B=0,4A-2C=1
A=-B,-2B+C-2B=0,-4B-2C=1
A=-B,-4B+C=0,-4B-2C=1
A=-B,C=4B,-4B-2*4B=1
A=-B,C=4B,-4B-8B=1
A=-B,C=4B,-12B=1
A=112,C=-13,B=-112
Таким образом, правильная дробь представляется суммой двух простейших дробей:
1x-2x2+2x+4=112*1x-2+-112x-13x2+2x+4=112*1x-2-112*x+4x2+2x+4
Выполним теперь интегрирование исходного интеграла:
dxx3-8=dxx-2x2+2x+4=112*1x-2-112*x+4x2+2x+4dx=112dxx-2-112x+4x2+2x+4dx=112lnx-2-112x+4x2+2x+1+3dx=112lnx-2-112x+4x+12+3dx=t=x+1dt=dxx=t-1=112lnx-2-112t-1+4t2+3dt=112lnx-2-112t+3t2+3dt=112lnx-2-112tdtt2+3-14dtt2+3=112lnx-2-112*12lnt2+3-143arctgt3+C=112lnx-2-124lnx+12+3-143arctgx+13+C=112lnx-2-124lnx2+2x+4-143arctgx+13+C